初中数学抛物线与x轴的交点解答题

在直角坐标系中，设函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1(a$ ， $b$ 是常数， $a\ne 0)$ ．

（1）若该函数的图象经过 $(1,0)$ 和 $(2,1)$ 两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；

（2）写出一组 $a$ ， $b$ 的值，使函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$ 的图象与 $x$ 轴有两个不同的交点，并说明理由．

（3）已知 $a=b=1$ ，当 $x=p$ ， $q(p$ ， $q$ 是实数， $p\ne q)$ 时，该函数对应的函数值分别为 $P$ ， $Q$ ．若 $p+q=2$ ，求证： $P+Q>6$ ．

如图，二次函数 $y=x^2-(m+1)x+m(m$ 是实数，且 $-1<m<0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），其对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ．已知点 $D$ 位于第一象限，且在对称轴上， $\mathit{OD}\perp \mathit{BD}$ ，点 $E$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $\mathit{OC}=\mathit{EC}$ ，连接 $\mathit{ED}$ 并延长交 $y$ 轴于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的坐标（用数字或含 $m$ 的式子表示）；

（2）已知点 $Q$ 在抛物线的对称轴上，当 $\mathit{\Delta AFQ}$ 的周长的最小值等于 $\frac{12}{5}$ 时，求 $m$ 的值．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过 $(-2,1)$， $(2,-3)$两点．

（1）求 $b$的值；

（2）当 $c>-1$时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　1　．

（3）设 $(m,0)$是该函数的图象与 $x$轴的一个公共点．当 $-1<m<3$时，结合函数的图象，直接写出 $a$的取值范围．

已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c+1$，

①当 $b=1$时，求这个二次函数的对称轴的方程；

②若 $c=-\frac{1}{4}{b}^2-2b$，问： $b$为何值时，二次函数的图象与 $x$轴相切？

③若二次函数的图象与 $x$轴交于点 $A(x_1$， $0)$， $B(x_2$， $0)$，且 $x_1<x_2$， $b>0$，与 $y$轴的正半轴交于点 $M$，以 $\mathit{AB}$为直径的半圆恰好过点 $M$，二次函数的对称轴 $l$与 $x$轴、直线 $\mathit{BM}$、直线 $\mathit{AM}$分别交于点 $D$、 $E$、 $F$，且满足 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EF}}=\frac{1}{3}$，求二次函数的表达式．

已知二次函数： $y=a{x}^2+(2a+1)x+2(a<0)$．

（1）求证：二次函数的图象与 $x$轴有两个交点；

（2）当二次函数的图象与 $x$轴的两个交点的横坐标均为整数，且 $a$为负整数时，求 $a$的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与 $x$轴的两个交点 $A$， $B(A$在 $B$的左侧），与 $y$轴的交点 $C$及其顶点 $D$这四点画出二次函数的大致图象，同时标出 $A$， $B$， $C$， $D$的位置）；

（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点 $P$使 $\angle \mathit{PCA}=75°$？如果存在，求出点 $P$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$与 $x$轴交于 $A$， $C$两点（点 $A$在点 $C$的左边）．直线 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$分别交 $x$轴， $y$轴于 $A$， $B$两点，且除了点 $A$之外，该直线与抛物线没有其它任何交点．

（1）求 $A$， $C$两点的坐标；

（2）求 $k$， $b$的值；

（3）设点 $P$是抛物线上的动点，过点 $P$作直线 $\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的垂线，垂足为 $H$，交抛物线的对称轴于点 $D$，求 $\mathit{PH}+\mathit{DH}$的最小值．并求出此时点 $P$的坐标．

已知二次函数 $y＝x^2\mathit{﹣（}2k+1）x+k^2+k（k＞0）$

（1）当 $k＝\frac{1}{2}$时，求这个二次函数的顶点坐标；

（2）求证：关于x的一元二次方程

有两个不相等的实数根；

（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且 $\mathit{OP}＝1$，直线AP交BC于点Q，求证： $\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{A{Q}^2}$．

已知直线y=2x+m与抛物线y=ax²+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；

（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；

（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．

（ⅰ）若 $-1⩽a⩽-\frac{1}{2}$，求线段MN长度的取值范围；

（ⅱ）求△QMN面积的最小值．

如图所示，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$的图象（记为抛物线 $\Gamma )$与 $y$轴交于点 $C$，与 $x$轴分别交于点 $A$、 $B$，点 $A$、 $B$的横坐标分别记为 $x_1$， $x_2$，且 $0<x_1<x_2$．

（1）若 $a=c$， $b=-3$，且过点 $(1,-1)$，求该二次函数的表达式；

（2）若关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$的判别式△ $=4$．求证：当 $b<-\frac{5}{2}$时，二次函数 $y_1=a{x}^2+(b+1)x+c$的图象与 $x$轴没有交点．

（3）若 $A{B}^2=\frac{c^2-2c+6}{c}$，点 $P$的坐标为 $(-\sqrt{x_0}$， $-1)$，过点 $P$作直线 $l$垂直于 $y$轴，且抛物线的 $\Gamma$的顶点在直线 $l$上，连接 $\mathit{OP}$、 $\mathit{AP}$、 $\mathit{BP}$， $\mathit{PA}$的延长线与抛物线 $\Gamma$交于点 $D$，若 $\angle \mathit{OPB}=\angle \mathit{DAB}$，求 $x_0$的最小值．

如图所示，抛物线 $y=x^2-2x-3$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求点 $C$ 及顶点 $M$ 的坐标．

（2）若点 $N$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $\mathit{BN}$ 、 $\mathit{CN}$ ，求 $\mathit{\Delta BCN}$ 面积的最大值及此时点 $N$ 的坐标．

（3）若点 $D$ 是抛物线对称轴上的动点，点 $G$ 是抛物线上的动点，是否存在以点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线 $\mathit{CM}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若点 $P$ 是线段 $\mathit{EM}$ 上的一个动点，是否存在以点 $P$ 、 $E$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $C$ ，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ，点 $C$ ，且交 $x$ 轴于另一点 $B$ ．

（1）直接写出点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ 的坐标及拋物线的解析式；

（2）在直线 $\mathit{AC}$ 上方的抛物线上有一点 $M$ ，求四边形 $\mathit{ABCM}$ 面积的最大值及此时点 $M$ 的坐标；

（3）将线段 $\mathit{OA}$ 绕 $x$ 轴上的动点 $P(m,0)$ 顺时针旋转 $90°$ 得到线段 $O\text{'}A\text{'}$ ，若线段 $O\text{'}A\text{'}$ 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求 $m$ 的取值范围．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+6\mathit{ax}(a$为常数， $a>0)$与 $x$轴交于 $O$， $A$两点，点 $B$为抛物线的顶点，点 $D$的坐标为 $(t$， $0\left)\right(-3<t<0)$，连接 $\mathit{BD}$并延长与过 $O$， $A$， $B$三点的 $\odot P$相交于点 $C$．

（1）求点 $A$的坐标；

（2）过点 $C$作 $\odot P$的切线 $\mathit{CE}$交 $x$轴于点 $E$．

①如图1，求证： $\mathit{CE}=\mathit{DE}$；

②如图2，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{BO}$，当 $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$， $\angle \mathit{CAE}=\angle \mathit{OBE}$时，求 $\frac{1}{\mathit{OD}}-\frac{1}{\mathit{OE}}$的值．

如图1， $\mathit{\Delta AOB}$的三个顶点 $A$、 $O$、 $B$分别落在抛物线 $F_1:y=\frac{1}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x$的图象上，点 $A$的横坐标为 $-4$，点 $B$的纵坐标为 $-2$．（点 $A$在点 $B$的左侧）

（1）求点 $A$、 $B$的坐标；

（2）将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$逆时针旋转 $90°$得到△ $A^{\text{'}}O{B}^{\text{'}}$，抛物线 $F_2:y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$经过 $A^{\text{'}}$、 $B^{\text{'}}$两点，已知点 $M$为抛物线 $F_2$的对称轴上一定点，且点 $A^{\text{'}}$恰好在以 $\mathit{OM}$为直径的圆上，连接 $\mathit{OM}$、 $A^{\text{'}}M$，求△ $O{A}^{\text{'}}M$的面积；

（3）如图2，延长 $O{B}^{\text{'}}$交抛物线 $F_2$于点 $C$，连接 $A^{\text{'}}C$，在坐标轴上是否存在点 $D$，使得以 $A$、 $O$、 $D$为顶点的三角形与△ $O{A}^{\text{'}}C$相似．若存在，请求出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与探究

如图，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2-\frac{1}{3}x-4$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．点 $P$是第四象限内抛物线上的一个动点，点 $P$的横坐标为 $m$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，垂足为点 $M$， $\mathit{PM}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$，过点 $P$作 $\mathit{PE}//\mathit{AC}$交 $x$轴于点 $E$，交 $\mathit{BC}$于点 $F$．

（1）求 $A$， $B$， $C$三点的坐标；

（2）试探究在点 $P$运动的过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{QF}$的长，并求出 $m$为何值时 $\mathit{QF}$有最大值．