初中数学二次函数的应用解答题

如图，直线 $y=\frac{1}{2}x+1$与 $x$， $y$轴分别交于点 $B$， $A$，顶点为 $P$的抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c$过点 $A$．

（1）求出点 $A$， $B$的坐标及 $c$的值；

（2）若函数 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c$在 $3⩽x⩽4$时有最大值为 $a+2$，求 $a$的值；

（3）连接 $\mathit{AP}$，过点 $A$作 $\mathit{AP}$的垂线交 $x$轴于点 $M$．设 $\mathit{\Delta BMP}$的面积为 $S$．

①直接写出 $S$关于 $a$的函数关系式及 $a$的取值范围；

②结合 $S$与 $a$的函数图象，直接写出 $S>\frac{1}{8}$时 $a$的取值范围．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{BC}=6\sqrt{3}\mathit{cm}$ ， $\mathit{AC}=12\mathit{cm}$ ．点 $P$ 是 $\mathit{CA}$ 边上的一动点，点 $P$ 从点 $C$ 出发以每秒 $2\mathit{cm}$ 的速度沿 $\mathit{CA}$ 方向匀速运动，以 $\mathit{CP}$ 为边作等边 $\mathit{\Delta CPQ}$ （点 $B$ 、点 $Q$ 在 $\mathit{AC}$ 同侧），设点 $P$ 运动的时间为 $x$ 秒， $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

（1）当点 $Q$ 落在 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ （用含 $x$ 的代数式表示，不要求写 $x$ 的取值范围）；

（2）当点 $Q$ 落在 $\mathit{AB}$ 上时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ 的值；

（3）当点 $Q$ 落在 $\mathit{\Delta ABC}$ 外部时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ （用含 $x$ 的代数式表示）．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta AOB}$的边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}=\mathit{AB}$，且线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-4x-5=0$的根，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp x$轴，垂足为 $E$， $\tan \angle \mathit{BAE}=\frac{4}{3}$，动点 $M$以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AB}$向点 $B$运动，到达点 $B$停止．过点 $M$作 $x$轴的垂线，垂足为 $D$，以 $\mathit{MD}$为边作正方形 $\mathit{MDCF}$，点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上，设正方形 $\mathit{MDCF}$与 $\mathit{\Delta AOB}$重叠部分的面积为 $S$，点 $M$的运动时间为 $t(t>0)$秒．

（1）求点 $B$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围；

（3）当点 $F$落在线段 $\mathit{OB}$上时，坐标平面内是否存在一点 $P$，使以 $M$、 $A$、 $O$、 $P$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图是某同学正在设计的一动画示意图， $x$轴上依次有 $A$， $O$， $N$三个点，且 $\mathit{AO}=2$，在 $\mathit{ON}$上方有五个台阶 $T_1~T_5$（各拐角均为 $90°)$，每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶 $T_1$到 $x$轴距离 $\mathit{OK}=10$．从点 $A$处向右上方沿抛物线 $L:y=-x^2+4x+12$发出一个带光的点 $P$．

（1）求点 $A$的横坐标，且在图中补画出 $y$轴，并直接指出点 $P$会落在哪个台阶上；

（2）当点 $P$落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 $L$形状相同的抛物线 $C$，且最大高度为11，求 $C$的解析式，并说明其对称轴是否与台阶 $T_5$有交点；

（3）在 $x$轴上从左到右有两点 $D$， $E$，且 $\mathit{DE}=1$，从点 $E$向上作 $\mathit{EB}\perp x$轴，且 $\mathit{BE}=2$．在 $\mathit{\Delta BDE}$沿 $x$轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线 $C$下落的点 $P$能落在边 $\mathit{BD}$（包括端点）上，则点 $B$横坐标的最大值比最小值大多少？

$[$注：（2）中不必写 $x$的取值范围 $]$

已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是边长为1的正方形，点 $E$ 是射线 $\mathit{BC}$ 上的动点，以 $\mathit{AE}$ 为直角边在直线 $\mathit{BC}$ 的上方作等腰直角三角形 $\mathit{AEF}$ ， $\angle \mathit{AEF}=90°$ ，设 $\mathit{BE}=m$ ．

（1）如图，若点 $E$ 在线段 $\mathit{BC}$ 上运动， $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $P$ ， $\mathit{AF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $Q$ ，连结 $\mathit{CF}$ ，

①当 $m=\frac{1}{3}$ 时，求线段 $\mathit{CF}$ 的长；

②在 $\mathit{\Delta PQE}$ 中，设边 $\mathit{QE}$ 上的高为 $h$ ，请用含 $m$ 的代数式表示 $h$ ，并求 $h$ 的最大值；

（2）设过 $\mathit{BC}$ 的中点且垂直于 $\mathit{BC}$ 的直线被等腰直角三角形 $\mathit{AEF}$ 截得的线段长为 $y$ ，请直接写出 $y$ 与 $m$ 的关系式．

某商贸公司购进某种商品的成本为20元 $/\mathit{kg}$，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价 $y$（元 $/\mathit{kg})$与时间 $x$（天 $)$之间的函数关系式为： $y=\left\{\begin{array}{c}0.25x+30\left(1⩽x⩽20且x\mathit{为整数}\right)\\ 35(20<x⩽40且x\mathit{为整数})\end{array}\right.$，且日销量 $m\left(\mathit{kg}\right)$与时间 $x$（天 $)$之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

时间 $x$（天 $)$	1	3	6	10	$\dots$
日销量 $m\left(\mathit{kg}\right)$	142	138	132	124	$\dots$

（1）填空： $m$与 $x$的函数关系为 　　；

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售 $1\mathit{kg}$商品就捐赠 $n$元利润 $(n<4)$给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $x$的增大而增大，求 $n$的取值范围．

某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 $y$（件 $)$是关于售价 $x$（元 $/$件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价 $x$，周销售量 $y$，周销售利润 $W$（元 $)$的三组对应值数据．

$x$	40	70	90
$y$	180	90	30
$W$	3600	4500	2100

（1）求 $y$关于 $x$的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）若该商品进价 $a$（元 $/$件），售价 $x$为多少时，周销售利润 $W$最大？并求出此时的最大利润；

（3）因疫情期间，该商品进价提高了 $m$（元 $/$件） $(m>0)$，公司为回馈消费者，规定该商品售价 $x$不得超过55（元 $/$件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求 $m$的值．

公路上正在行驶的甲车，发现前方 $20m$ 处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程 $s$ （单位： $m)$ 、速度 $v$ （单位： $m/s)$ 与时间 $t$ （单位： $s)$ 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．

（1）当甲车减速至 $9m/s$ 时，它行驶的路程是多少？

（2）若乙车以 $10m/s$ 的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

红星公司销售一种成本为40元 $/$件产品，若月销售单价不高于50元 $/$件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为 $x$（单位：元 $/$件），月销售量为 $y$（单位：万件）．

（1）直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式，并写出自变量 $x$的取值范围；

（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款 $a$元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元 $/$件，月销售最大利润是78万元，求 $a$的值．

如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽 $\mathit{AB}$ 与桥长 $\mathit{CD}$ 均为 $24m$ ，在距离 $D$ 点6米的 $E$ 处，测得桥面到桥拱的距离 $\mathit{EF}$ 为 $1.5m$ ，以桥拱顶点 $O$ 为原点，桥面为 $x$ 轴建立平面直角坐标系．

（1）求桥拱顶部 $O$ 离水面的距离．

（2）如图2，桥面上方有3根高度均为 $4m$ 的支柱 $\mathit{CG}$ ， $\mathit{OH}$ ， $\mathit{DI}$ ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为 $1m$ ．

①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．

在平面直角坐标系中， $O$ 为原点， $\mathit{\Delta OAB}$ 是等腰直角三角形， $\angle \mathit{OBA}=90°$ ， $\mathit{BO}=\mathit{BA}$ ，顶点 $A(4,0)$ ，点 $B$ 在第一象限，矩形 $\mathit{OCDE}$ 的顶点 $E(-\frac{7}{2}$ ， $0)$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $D$ 在第二象限，射线 $\mathit{DC}$ 经过点 $B$ ．

（Ⅰ）如图①，求点 $B$ 的坐标；

（Ⅱ）将矩形 $\mathit{OCDE}$ 沿 $x$ 轴向右平移，得到矩形 $O\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$ ，点 $O$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 的对应点分别为 $O\text{'}$ ， $C\text{'}$ ， $D\text{'}$ ， $E\text{'}$ ．设 $\mathit{OO}\text{'}=t$ ，矩形 $O\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$ 与 $\mathit{\Delta OAB}$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

①如图②，当点 $E\text{'}$ 在 $x$ 轴正半轴上，且矩形 $O\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$ 与 $\mathit{\Delta OAB}$ 重叠部分为四边形时， $D\text{'}E\text{'}$ 与 $\mathit{OB}$ 相交于点 $F$ ，试用含有 $t$ 的式子表示 $S$ ，并直接写出 $t$ 的取值范围；

②当 $\frac{5}{2}⩽t⩽\frac{9}{2}$ 时，求 $S$ 的取值范围（直接写出结果即可）．

如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，一次函数 $y=2x$ 的图象 $l$ 与函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$ 的图象（记为 $\Gamma )$ 交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp y$ 轴于点 $B$ ，且 $\mathit{AB}=1$ ，点 $C$ 在线段 $\mathit{OB}$ 上（不含端点），且 $\mathit{OC}=t$ ，过点 $C$ 作直线 $l_1//x$ 轴，交 $l$ 于点 $D$ ，交图象 $\Gamma$ 于点 $E$ ．

（1）求 $k$ 的值，并且用含 $t$ 的式子表示点 $D$ 的横坐标；

（2）连接 $\mathit{OE}$ 、 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{AE}$ ，记 $\mathit{\Delta OBE}$ 、 $\mathit{\Delta ADE}$ 的面积分别为 $S_1$ 、 $S_2$ ，设 $U=S_1-S_2$ ，求 $U$ 的最大值．

某超市从厂家购进 $A$ 、 $B$ 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：

进货批次	$A$ 型水杯（个     $)$	$B$ 型水杯（个     $)$	总费用（元     $)$
一	100	200	8000
二	200	300	13000

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种型号的水杯进价各是多少元？

（2）在销售过程中， $A$ 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大 $B$ 型水杯的销售量，超市决定对 $B$ 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将 $B$ 型水杯降价多少元时，每天售出 $B$ 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？

（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个 $A$ 型水杯可获利10元，售出一个 $B$ 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个 $A$ 型水杯就为当地"新冠疫情防控"捐 $b$ 元用于购买防控物资．若 $A$ 、 $B$ 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时 $b$ 为多少？利润为多少？

甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．

说明：①汽车数量为整数；②月利润 $=$ 月租车费 $-$ 月维护费；③两公司月利润差 $=$ 月利润较高公司的利润 $-$ 月利润较低公司的利润．

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 　 48000 　元；当每个公司租出的汽车为 　　辆时，两公司的月利润相等；

（2）求两公司月利润差的最大值；

（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出 $a$ 元 $(a>0)$ 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 $a$ 的取值范围．

如图， $\mathit{\Delta OAB}$ 的顶点坐标分别为 $O(0,0)$ ， $A(3,4)$ ， $B(6,0)$ ，动点 $P$ 、 $Q$ 同时从点 $O$ 出发，分别沿 $x$ 轴正方向和 $y$ 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点 $P$ 到达点 $B$ 时点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．过点 $Q$ 作 $\mathit{MN}//\mathit{OB}$ 分别交 $\mathit{AO}$ 、 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{PM}$ 、 $\mathit{PN}$ ．设运动时间为 $t$ （秒 $)$ ．

（1）求点 $M$ 的坐标（用含 $t$ 的式子表示）；

（2）求四边形 $\mathit{MNBP}$ 面积的最大值或最小值；

（3）是否存在这样的直线 $l$ ，总能平分四边形 $\mathit{MNBP}$ 的面积？如果存在，请求出直线 $l$ 的解析式；如果不存在，请说明理由；

（4）连接 $\mathit{AP}$ ，当 $\angle \mathit{OAP}=\angle \mathit{BPN}$ 时，求点 $N$ 到 $\mathit{OA}$ 的距离．