初中数学二次函数的应用解答题

如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽 $\mathit{AB}$ 与桥长 $\mathit{CD}$ 均为 $24m$ ，在距离 $D$ 点6米的 $E$ 处，测得桥面到桥拱的距离 $\mathit{EF}$ 为 $1.5m$ ，以桥拱顶点 $O$ 为原点，桥面为 $x$ 轴建立平面直角坐标系．

（1）求桥拱顶部 $O$ 离水面的距离．

（2）如图2，桥面上方有3根高度均为 $4m$ 的支柱 $\mathit{CG}$ ， $\mathit{OH}$ ， $\mathit{DI}$ ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为 $1m$ ．

①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．

在平面直角坐标系中， $O$ 为原点， $\mathit{\Delta OAB}$ 是等腰直角三角形， $\angle \mathit{OBA}=90°$ ， $\mathit{BO}=\mathit{BA}$ ，顶点 $A(4,0)$ ，点 $B$ 在第一象限，矩形 $\mathit{OCDE}$ 的顶点 $E(-\frac{7}{2}$ ， $0)$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $D$ 在第二象限，射线 $\mathit{DC}$ 经过点 $B$ ．

（Ⅰ）如图①，求点 $B$ 的坐标；

（Ⅱ）将矩形 $\mathit{OCDE}$ 沿 $x$ 轴向右平移，得到矩形 $O\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$ ，点 $O$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 的对应点分别为 $O\text{'}$ ， $C\text{'}$ ， $D\text{'}$ ， $E\text{'}$ ．设 $\mathit{OO}\text{'}=t$ ，矩形 $O\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$ 与 $\mathit{\Delta OAB}$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

①如图②，当点 $E\text{'}$ 在 $x$ 轴正半轴上，且矩形 $O\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$ 与 $\mathit{\Delta OAB}$ 重叠部分为四边形时， $D\text{'}E\text{'}$ 与 $\mathit{OB}$ 相交于点 $F$ ，试用含有 $t$ 的式子表示 $S$ ，并直接写出 $t$ 的取值范围；

②当 $\frac{5}{2}⩽t⩽\frac{9}{2}$ 时，求 $S$ 的取值范围（直接写出结果即可）．

公路上正在行驶的甲车，发现前方 $20m$ 处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程 $s$ （单位： $m)$ 、速度 $v$ （单位： $m/s)$ 与时间 $t$ （单位： $s)$ 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．

（1）当甲车减速至 $9m/s$ 时，它行驶的路程是多少？

（2）若乙车以 $10m/s$ 的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．

说明：①汽车数量为整数；②月利润 $=$ 月租车费 $-$ 月维护费；③两公司月利润差 $=$ 月利润较高公司的利润 $-$ 月利润较低公司的利润．

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 　 48000 　元；当每个公司租出的汽车为 　　辆时，两公司的月利润相等；

（2）求两公司月利润差的最大值；

（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出 $a$ 元 $(a>0)$ 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 $a$ 的取值范围．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3\mathit{cm}$， $\mathit{AD}=\sqrt{3}\mathit{cm}$．动点 $P$从点 $A$出发沿折线 $\mathit{AB}-\mathit{BC}$向终点 $C$运动，在边 $\mathit{AB}$上以 $1\mathit{cm}/s$的速度运动；在边 $\mathit{BC}$上以 $\sqrt{3}\mathit{cm}/s$的速度运动，过点 $P$作线段 $\mathit{PQ}$与射线 $\mathit{DC}$相交于点 $Q$，且 $\angle \mathit{PQD}=60°$，连接 $\mathit{PD}$， $\mathit{BD}$．设点 $P$的运动时间为 $x\left(s\right)$， $\mathit{\Delta DPQ}$与 $\mathit{\Delta DBC}$重合部分图形的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$．

（1）当点 $P$与点 $A$重合时，直接写出 $\mathit{DQ}$的长；

（2）当点 $P$在边 $\mathit{BC}$上运动时，直接写出 $\mathit{BP}$的长（用含 $x$的代数式表示）；

（3）求 $y$关于 $x$的函数解析式，并写出自变量 $x$的取值范围．

如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，一次函数 $y=2x$ 的图象 $l$ 与函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$ 的图象（记为 $\Gamma )$ 交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp y$ 轴于点 $B$ ，且 $\mathit{AB}=1$ ，点 $C$ 在线段 $\mathit{OB}$ 上（不含端点），且 $\mathit{OC}=t$ ，过点 $C$ 作直线 $l_1//x$ 轴，交 $l$ 于点 $D$ ，交图象 $\Gamma$ 于点 $E$ ．

（1）求 $k$ 的值，并且用含 $t$ 的式子表示点 $D$ 的横坐标；

（2）连接 $\mathit{OE}$ 、 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{AE}$ ，记 $\mathit{\Delta OBE}$ 、 $\mathit{\Delta ADE}$ 的面积分别为 $S_1$ 、 $S_2$ ，设 $U=S_1-S_2$ ，求 $U$ 的最大值．

某超市从厂家购进 $A$ 、 $B$ 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：

进货批次	$A$ 型水杯（个     $)$	$B$ 型水杯（个     $)$	总费用（元     $)$
一	100	200	8000
二	200	300	13000

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种型号的水杯进价各是多少元？

（2）在销售过程中， $A$ 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大 $B$ 型水杯的销售量，超市决定对 $B$ 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将 $B$ 型水杯降价多少元时，每天售出 $B$ 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？

（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个 $A$ 型水杯可获利10元，售出一个 $B$ 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个 $A$ 型水杯就为当地"新冠疫情防控"捐 $b$ 元用于购买防控物资．若 $A$ 、 $B$ 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时 $b$ 为多少？利润为多少？

如图， $\mathit{\Delta OAB}$ 的顶点坐标分别为 $O(0,0)$ ， $A(3,4)$ ， $B(6,0)$ ，动点 $P$ 、 $Q$ 同时从点 $O$ 出发，分别沿 $x$ 轴正方向和 $y$ 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点 $P$ 到达点 $B$ 时点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．过点 $Q$ 作 $\mathit{MN}//\mathit{OB}$ 分别交 $\mathit{AO}$ 、 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{PM}$ 、 $\mathit{PN}$ ．设运动时间为 $t$ （秒 $)$ ．

（1）求点 $M$ 的坐标（用含 $t$ 的式子表示）；

（2）求四边形 $\mathit{MNBP}$ 面积的最大值或最小值；

（3）是否存在这样的直线 $l$ ，总能平分四边形 $\mathit{MNBP}$ 的面积？如果存在，请求出直线 $l$ 的解析式；如果不存在，请说明理由；

（4）连接 $\mathit{AP}$ ，当 $\angle \mathit{OAP}=\angle \mathit{BPN}$ 时，求点 $N$ 到 $\mathit{OA}$ 的距离．

某商贸公司购进某种商品的成本为20元 $/\mathit{kg}$，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价 $y$（元 $/\mathit{kg})$与时间 $x$（天 $)$之间的函数关系式为： $y=\left\{\begin{array}{c}0.25x+30\left(1⩽x⩽20且x\mathit{为整数}\right)\\ 35(20<x⩽40且x\mathit{为整数})\end{array}\right.$，且日销量 $m\left(\mathit{kg}\right)$与时间 $x$（天 $)$之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

时间 $x$（天 $)$	1	3	6	10	$\dots$
日销量 $m\left(\mathit{kg}\right)$	142	138	132	124	$\dots$

（1）填空： $m$与 $x$的函数关系为 　　；

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售 $1\mathit{kg}$商品就捐赠 $n$元利润 $(n<4)$给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $x$的增大而增大，求 $n$的取值范围．

某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 $y$（件 $)$是关于售价 $x$（元 $/$件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价 $x$，周销售量 $y$，周销售利润 $W$（元 $)$的三组对应值数据．

$x$	40	70	90
$y$	180	90	30
$W$	3600	4500	2100

（1）求 $y$关于 $x$的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）若该商品进价 $a$（元 $/$件），售价 $x$为多少时，周销售利润 $W$最大？并求出此时的最大利润；

（3）因疫情期间，该商品进价提高了 $m$（元 $/$件） $(m>0)$，公司为回馈消费者，规定该商品售价 $x$不得超过55（元 $/$件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求 $m$的值．

红星公司销售一种成本为40元 $/$件产品，若月销售单价不高于50元 $/$件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为 $x$（单位：元 $/$件），月销售量为 $y$（单位：万件）．

（1）直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式，并写出自变量 $x$的取值范围；

（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款 $a$元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元 $/$件，月销售最大利润是78万元，求 $a$的值．

甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 $\mathit{OBA}$可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $\mathit{OA}=8m$，桥拱顶点 $B$到水面的距离是 $4m$．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为 $1.2m$的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $O$点 $0.4m$时，桥下水位刚好在 $\mathit{OA}$处，有一名身高 $1.68m$的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，该抛物线在 $x$轴下方部分与桥拱 $\mathit{OBA}$在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 $m(m>0)$个单位长度，平移后的函数图象在 $8⩽x⩽9$时， $y$的值随 $x$值的增大而减小，结合函数图象，求 $m$的取值范围．

用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图 $1)$．

科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为 $H$（单位： $\mathit{cm})$，如果在离水面竖直距离为 $h$（单位： $\mathit{cm})$的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离） $s$（单位： $\mathit{cm})$与 $h$的关系式为 $s^2=4h(H-h)$．

应用思考：现用高度为 $20\mathit{cm}$的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离 $\mathit{hcm}$处开一个小孔．

（1）写出 $s^2$与 $h$的关系式；并求出当 $h$为何值时，射程 $s$有最大值，最大射程是多少？

（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 $a$， $b$，要使两孔射出水的射程相同，求 $a$， $b$之间的关系式；

（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加 $16\mathit{cm}$，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．

在篮球比赛中，东东投出的球在点 $A$处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点 $B$．

（1）求该抛物线的函数表达式．

（2）当球运动到点 $C$时被东东抢到， $\mathit{CD}\perp x$轴于点 $D$， $\mathit{CD}=2.6m$．

①求 $\mathit{OD}$的长．

②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点 $D$处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点 $E(4,1.3)$．东东起跳后所持球离地面高度 $h_1\left(m\right)$（传球前）与东东起跳后时间 $t\left(s\right)$满足函数关系式 $h_1=-2{(t-0.5)}^2+2.7(0⩽t⩽1)$；小戴在点 $F(1.5,0)$处拦截，他比东东晚 $0.3s$垂直起跳，其拦截高度 $h_2\left(m\right)$与东东起跳后时间 $t\left(s\right)$的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点 $E$？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．

如图（1）放置两个全等的含有 $30°$角的直角三角板 $\mathit{ABC}$与 $\mathit{DEF}(\angle B=\angle E=30°)$，若将三角板 $\mathit{ABC}$向右以每秒1个单位长度的速度移动（点 $C$与点 $E$重合时移动终止），移动过程中始终保持点 $B$、 $F$、 $C$、 $E$在同一条直线上，如图（2）， $\mathit{AB}$与 $\mathit{DF}$、 $\mathit{DE}$分别交于点 $P$、 $M$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{DE}$交于点 $Q$，其中 $\mathit{AC}=\mathit{DF}=\sqrt{3}$，设三角板 $\mathit{ABC}$移动时间为 $x$秒．

（1）在移动过程中，试用含 $x$的代数式表示 $\mathit{\Delta AMQ}$的面积；

（2）计算 $x$等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？