初中数学等腰三角形的判定与性质试题

如图，射线 $\mathit{AB}$ 和射线 $\mathit{CB}$ 相交于点 $B$ ， $\angle \mathit{ABC}=\alpha (0°<\alpha <180°)$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{CB}$ ．点 $D$ 是射线 $\mathit{CB}$ 上的动点（点 $D$ 不与点 $C$ 和点 $B$ 重合），作射线 $\mathit{AD}$ ，并在射线 $\mathit{AD}$ 上取一点 $E$ ，使 $\angle \mathit{AEC}=\alpha$ ，连接 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{BE}$ ．

（1）如图①，当点 $D$ 在线段 $\mathit{CB}$ 上， $\alpha =90°$ 时，请直接写出 $\angle \mathit{AEB}$ 的度数；

（2）如图②，当点 $D$ 在线段 $\mathit{CB}$ 上， $\alpha =120°$ 时，请写出线段 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CE}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当 $\alpha =120°$ ， $\tan \angle \mathit{DAB}=\frac{1}{3}$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{BE}}$ 的值．

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{BE}=\mathit{CE}$ ，点 $G$ 在线段 $\mathit{CD}$ 上， $\mathit{CG}=\mathit{CA}$ ， $\mathit{GF}=\mathit{DE}$ ， $\angle \mathit{AFG}=\angle \mathit{CDE}$ ．

（1）填空：与 $\angle \mathit{CAG}$ 相等的角是 　　；

（2）用等式表示线段 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BD}$ 的数量关系，并证明；

（3）若 $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{ACD}$ （如图 $2)$ ，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{AB}}$ 的值．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ ，点 $D$ 在 $\odot O$ 上， $\widehat{\mathit{AC}}=\widehat{\mathit{CD}}$ ， $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ， $\mathit{AF}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，与 $\mathit{BC}$ 延长线相交于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{AF}$ ．

（2）若 $\mathit{EF}=12$ ， $\sin \angle \mathit{ABF}=\frac{3}{5}$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ADC}=60°$，点 $E$， $F$分别在 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$上，且 $\mathit{AE}=\mathit{DF}$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{CE}$相交于点 $G$， $\mathit{BG}$与 $\mathit{AC}$相交于点 $H$．下列结论：① $\mathit{\Delta ACF}\cong \mathit{\Delta CDE}$；② $C{G}^2=\mathit{GH}·\mathit{BG}$；③若 $\mathit{DF}=2\mathit{CF}$，则 $\mathit{CE}=7\mathit{GF}$；④ $S_{\mathit{四边形}\mathit{ABCG}}=\frac{\sqrt{3}}{4}B{G}^2$．其中正确的结论有　 　．（只填序号即可）

如图，在 $\odot O$ 中，点 $P$ 为 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的中点，弦 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{PC}$ 互相垂直，垂足为 $M$ ， $\mathit{BC}$ 分别与 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{PD}$ 相交于点 $E$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{MN}$ ．

（1）求证： $N$ 为 $\mathit{BE}$ 的中点．

（2）若 $\odot O$ 的半径为8， $\widehat{\mathit{AB}}$ 的度数为 $90°$ ，求线段 $\mathit{MN}$ 的长．

$[$初步尝试 $]$

（1）如图①，在三角形纸片 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$折叠，使点 $B$与点 $C$重合，折痕为 $\mathit{MN}$，则 $\mathit{AM}$与 $\mathit{BM}$的数量关系为　 　；

$[$思考说理 $]$

（2）如图②，在三角形纸片 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=6$， $\mathit{AB}=10$，将 $\mathit{\Delta ABC}$折叠，使点 $B$与点 $C$重合，折痕为 $\mathit{MN}$，求 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{BM}}$的值；

$[$拓展延伸 $]$

（3）如图③，在三角形纸片 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=9$， $\mathit{BC}=6$， $\angle \mathit{ACB}=2\angle A$，将 $\mathit{\Delta ABC}$沿过顶点 $C$的直线折叠，使点 $B$落在边 $\mathit{AC}$上的点 $B\text{'}$处，折痕为 $\mathit{CM}$．

①求线段 $\mathit{AC}$的长；

②若点 $O$是边 $\mathit{AC}$的中点，点 $P$为线段 $\mathit{OB}\text{'}$上的一个动点，将 $\mathit{\Delta APM}$沿 $\mathit{PM}$折叠得到△ $A\text{'}\mathit{PM}$，点 $A$的对应点为点 $A\text{'}$， $A\text{'}M$与 $\mathit{CP}$交于点 $F$，求 $\frac{\mathit{PF}}{\mathit{MF}}$的取值范围．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AD}$ 平分 $\angle \mathit{BAC}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过点 $A$ 和点 $D$ 的圆，圆心 $O$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上， $\odot O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．

（1）判断 $\mathit{BC}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AD}=8$ ， $\mathit{AE}=10$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ，点 $O$ 在 $\mathit{AC}$ 上，以 $\mathit{OA}$ 为半径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线 $\mathit{DF}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}=\mathit{DF}$ ；

（2）若 $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CF}=1$ ，求半圆 $O$ 的半径长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，以斜边 $\mathit{AB}$ 上的中线 $\mathit{CD}$ 为直径作 $\odot O$ ，与 $\mathit{BC}$ 交于点 $M$ ，与 $\mathit{AB}$ 的另一个交点为 $E$ ，过 $M$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $N$ ．

（1）求证： $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的直径为5， $\sin B=\frac{3}{5}$ ，求 $\mathit{ED}$ 的长．

匈牙利著名数学家爱尔特希 $(P$． $\mathit{Erdos}$， $1913-1996)$曾提出：在平面内有 $n$个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的 $n$个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$、 $O$构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则 $\angle \mathit{ADO}$的度数是　　．

如图1， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，直线 $\mathit{AM}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，直线 $\mathit{BN}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$ ，点 $C$ （异于点 $A)$ 在 $\mathit{AM}$ 上，点 $D$ 在 $\odot O$ 上，且 $\mathit{CD}=\mathit{CA}$ ，延长 $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{BN}$ 相交于点 $E$ ，连接 $\mathit{AD}$ 并延长交 $\mathit{BN}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $\mathit{BE}=\mathit{EF}$ ；

（3）如图2，连接 $\mathit{EO}$ 并延长与 $\odot O$ 分别相交于点 $G$ 、 $H$ ，连接 $\mathit{BH}$ ．若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{AC}=4$ ，求 $\tan \angle \mathit{BHE}$ ．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$， $\odot O$的切线 $\mathit{AF}$交 $\mathit{BD}$的延长线于点 $F$，切点为 $A$，且 $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{ABD}$．

（1）求证： $\mathit{AD}=\mathit{CD}$；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BF}=5$，求 $\sin \angle \mathit{BDC}$的值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $E$在边 $\mathit{AC}$上， $\mathit{EB}=\mathit{EA}$， $\angle A=2\angle \mathit{CBE}$， $\mathit{CD}$垂直于 $\mathit{BE}$的延长线于点 $D$， $\mathit{BD}=8$， $\mathit{AC}=11$，则边 $\mathit{BC}$的长为　 　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\mathit{CD}$ 为斜边 $\mathit{AB}$ 的中线，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$ 于点 $E$ ，延长 $\mathit{DE}$ 至点 $F$ ，使 $\mathit{EF}=\mathit{DE}$ ，连接 $\mathit{AF}$ ， $\mathit{CF}$ ，点 $G$ 在线段 $\mathit{CF}$ 上，连接 $\mathit{EG}$ ，且 $\angle \mathit{CDE}+\angle \mathit{EGC}=180°$ ， $\mathit{FG}=2$ ， $\mathit{GC}=3$ ．下列结论：

① $\mathit{DE}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$ ；

②四边形 $\mathit{DBCF}$ 是平行四边形；

③ $\mathit{EF}=\mathit{EG}$ ；

④ $\mathit{BC}=2\sqrt{5}$ ．

其中正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

已知抛物线 $y=a{(x-2)}^2+c$经过点 $A(-2,0)$和点 $C(0,\frac{9}{4})$，与 $x$轴交于另一点 $B$，顶点为 $D$．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点 $D$的坐标；

（2）如图，点 $E$， $F$分别在线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{BD}$上（点 $E$不与点 $A$， $B$重合），且 $\angle \mathit{DEF}=\angle \mathit{DAB}$， $\mathit{DE}=\mathit{EF}$，直接写出线段 $\mathit{BE}$的长．