初中数学等腰三角形的判定与性质试题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $D$在线段 $\mathit{BC}$上，且 $\angle B=30°$， $\angle \mathit{ADC}=60°$， $\mathit{BC}=3\sqrt{3}$，则 $\mathit{BD}$的长度为　 　．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交过点 $A$ 且平行于 $x$ 轴的直线于另一点 $B$ ，交 $x$ 轴于 $C$ ， $D$ 两点（点 $C$ 在点 $D$ 右边），对称轴为直线 $x=\frac{5}{2}$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ ．若点 $B$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 的对称点恰好落在线段 $\mathit{OC}$ 上，下列结论中错误的是 $($ 　　 $)$

A．	点 $B$ 坐标为 $(5,4)$	B．	$\mathit{AB}=\mathit{AD}$
C．	$a=-\frac{1}{6}$	D．	$\mathit{OC}·\mathit{OD}=16$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$为 $\mathit{AB}$的中点，以 $\mathit{CD}$为直径的 $\odot O$分别交 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$两点，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$于点 $G$．

（1）试判断 $\mathit{FG}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由．

（2）若 $\mathit{AC}=3$， $\mathit{CD}=2.5$，求 $\mathit{FG}$的长．

如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形 $\mathit{ABCD}$的顶点在格点上，点 $E$是边 $\mathit{DC}$与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．

（1）如图1，过点 $A$画线段 $\mathit{AF}$，使 $\mathit{AF}//\mathit{DC}$，且 $\mathit{AF}=\mathit{DC}$．

（2）如图1，在边 $\mathit{AB}$上画一点 $G$，使 $\angle \mathit{AGD}=\angle \mathit{BGC}$．

（3）如图2，过点 $E$画线段 $\mathit{EM}$，使 $\mathit{EM}//\mathit{AB}$，且 $\mathit{EM}=\mathit{AB}$．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以 $\mathit{AC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，过点 $D$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DBE}$是等腰三角形；

（2）求证： $\mathit{\Delta COE}\backsim \mathit{\Delta CAB}$．

如图，四边形 ABCD的对角线相交于点 O，且点 O是 BD的中点，若 AB＝ AD＝5， BD＝8，∠ ABD＝∠ CDB，则四边形 ABCD的面积为（　　）

A．

40

B．

24

C．

20

D．

15

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$是 $\odot O$上一点，过点 $O$作 $\mathit{OD}\perp \mathit{AB}$，交 $\mathit{BC}$的延长线于 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$是 $\mathit{DE}$的中点，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{CF}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\angle A=22.5°$，求证： $\mathit{AC}=\mathit{DC}$．

如图，点 $A$ 、 $B$ ， $C$ ， $D$ 在 $\odot O$ 上， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle A=40°$ ， $\mathit{BD}//\mathit{AC}$ ，若 $\odot O$ 的半径为2．则图中阴影部分的面积是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

$\frac{2\pi }{3}-\sqrt{3}$

C．

$\frac{4\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

D．

$\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{CD}$是 $\mathit{AB}$边上的高， $\mathit{BE}$是 $\mathit{AC}$边上的中线，且 $\mathit{BD}=\mathit{CE}$．求证：

（1）点 $D$在 $\mathit{BE}$的垂直平分线上；

（2） $\angle \mathit{BEC}=3\angle \mathit{ABE}$．

$\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $A$，直线 $l$与 $\odot O$相离， $\mathit{OB}\perp l$于点 $B$，且 $\mathit{OB}=5$， $\mathit{OB}$与 $\odot O$交于点 $P$， $\mathit{AP}$的延长线交直线 $l$于点 $C$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{BC}$；

（2）若 $\odot O$的半径为3，求线段 $\mathit{AP}$的长；

（3）若在 $\odot O$上存在点 $G$，使 $\mathit{\Delta GBC}$是以 $\mathit{BC}$为底边的等腰三角形，求 $\odot O$的半径 $r$的取值范围．

如图，以正方形 $\mathit{ABCD}$的 $\mathit{AB}$边向外作正六边形 $\mathit{ABEFGH}$，连接 $\mathit{DH}$，则 $\angle \mathit{ADH}=$　　度．

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{CAB}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $C$作 $\mathit{CF}\perp \mathit{AE}$，交 $\mathit{AE}$的延长线于点 $G$，交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{BF}$；

（2）如图2，连接 $\mathit{BG}$、 $\mathit{BD}$，求证： $\mathit{BG}$平分 $\angle \mathit{DBF}$；

（3）如图3，连接 $\mathit{DG}$交 $\mathit{AC}$于点 $M$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{DM}}$的值．

如图，点 $D$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上一点，过点 $B$作 $\odot O$的切线，交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $C$， $E$是 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{DE}$并延长与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OB}=\mathit{BF}$， $\mathit{EF}=4$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=20$， $\tan B=\frac{3}{4}$，点 $D$为 $\mathit{BC}$边上的动点（点 $D$不与点 $B$， $C$重合）．以 $D$为顶点作 $\angle \mathit{ADE}=\angle B$，射线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$边于点 $E$，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{AD}$交射线 $\mathit{DE}$于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}\backsim \mathit{\Delta DCE}$；

（2）当 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$时（如图 $2)$，求 $\mathit{AE}$的长；

（3）点 $D$在 $\mathit{BC}$边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 $\mathit{DF}=\mathit{CF}$？若存在，求出此时 $\mathit{BD}$的长；若不存在，请说明理由．

在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BE}$平分 $\angle \mathit{ABC}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$．

（1）如图1，若 $\angle D=30°$， $\mathit{AB}=\sqrt{6}$，求 $\mathit{\Delta ABE}$的面积；

（2）如图2，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{DC}$，交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $F$，分别交 $\mathit{BE}$， $\mathit{BC}$于点 $G$， $H$，且 $\mathit{AB}=\mathit{AF}$．求证： $\mathit{ED}-\mathit{AG}=\mathit{FC}$．