初中数学等腰三角形的判定与性质解答题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，以斜边 $\mathit{AB}$ 上的中线 $\mathit{CD}$ 为直径作 $\odot O$ ，与 $\mathit{BC}$ 交于点 $M$ ，与 $\mathit{AB}$ 的另一个交点为 $E$ ，过 $M$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $N$ ．

（1）求证： $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的直径为5， $\sin B=\frac{3}{5}$ ，求 $\mathit{ED}$ 的长．

已知在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$，对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，点 $E$是线段 $\mathit{BD}$上一动点（不与点 $B$， $D$重合），连接 $\mathit{AE}$，以 $\mathit{AE}$为边在 $\mathit{AE}$的右侧作菱形 $\mathit{AEFG}$，且 $\angle \mathit{AEF}=60°$．

（1）如图1，若点 $F$落在线段 $\mathit{BD}$上，请判断：线段 $\mathit{EF}$与线段 $\mathit{DF}$的数量关系是 　

（2）如图2，若点 $F$不在线段 $\mathit{BD}$上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；

（3）若点 $C$， $E$， $G$三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段 $\mathit{BE}$与线段 $\mathit{BD}$的数量关系．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$， $\odot O$的切线 $\mathit{AF}$交 $\mathit{BD}$的延长线于点 $F$，切点为 $A$，且 $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{ABD}$．

（1）求证： $\mathit{AD}=\mathit{CD}$；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BF}=5$，求 $\sin \angle \mathit{BDC}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$ ；

（2）若 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{BC}=16$ ，求 $\mathit{DE}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$为 $\mathit{AB}$的中点，以 $\mathit{CD}$为直径的 $\odot O$分别交 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$两点，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$于点 $G$．

（1）试判断 $\mathit{FG}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由．

（2）若 $\mathit{AC}=3$， $\mathit{CD}=2.5$，求 $\mathit{FG}$的长．

如图， $\angle \mathit{MBN}=90°$，点 $C$是 $\angle \mathit{MBN}$平分线上的一点，过点 $C$分别作 $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{BN}$，垂足分别为点 $C$， $E$， $\mathit{AC}=4\sqrt{2}$，点 $P$为线段 $\mathit{BE}$上的一点（点 $P$不与点 $B$、 $E$重合），连接 $\mathit{CP}$，以 $\mathit{CP}$为直角边，点 $P$为直角顶点，作等腰直角三角形 $\mathit{CPD}$，点 $D$落在 $\mathit{BC}$左侧．

（1）求证： $\frac{\mathit{CP}}{\mathit{CD}}=\frac{\mathit{CE}}{\mathit{CB}}$；

（2）连接 $\mathit{BD}$，请你判断 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的位置关系，并说明理由；

（3）设 $\mathit{PE}=x$， $\mathit{\Delta PBD}$的面积为 $S$，求 $S$与 $x$之间的函数关系式．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以 $\mathit{AC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，过点 $D$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DBE}$是等腰三角形；

（2）求证： $\mathit{\Delta COE}\backsim \mathit{\Delta CAB}$．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$是圆上异于 $A$、 $B$的一点，连结 $\mathit{BC}$并延长至点 $D$，使 $\mathit{CD}=\mathit{BC}$，连结 $\mathit{AD}$交 $\odot O$于点 $E$，连结 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}$是等腰三角形；

（2）连结 $\mathit{OC}$并延长，与以 $B$为切点的切线交于点 $F$，若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{CF}=1$，求 $\mathit{DE}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{CD}$是 $\mathit{AB}$边上的高， $\mathit{BE}$是 $\mathit{AC}$边上的中线，且 $\mathit{BD}=\mathit{CE}$．求证：

（1）点 $D$在 $\mathit{BE}$的垂直平分线上；

（2） $\angle \mathit{BEC}=3\angle \mathit{ABE}$．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 分别交 $\mathit{AC}$ 于 $D$ ， $\mathit{BC}$ 于 $E$ ，连接 $\mathit{ED}$ ，若 $\mathit{ED}=\mathit{EC}$ ．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{BC}=2\sqrt{3}$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长．

（1）计算： ${(-1)}^2-{(\pi -2021)}^0+|-\frac{1}{2}|$ ；

（2）如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A=40°$ ， $\angle \mathit{ABC}=80°$ ， $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ， $\mathit{ED}\perp \mathit{AB}$ 于点 $D$ ，求证： $\mathit{AD}=\mathit{BD}$ ．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{OA}=\mathit{OC}$ ， $\mathit{OB}=\mathit{OD}+\mathit{CD}$ ．

（1）过点 $A$ 作 $\mathit{AE}//\mathit{DC}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $E$ ，求证： $\mathit{AE}=\mathit{BE}$ ；

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta ABD}$ 沿 $\mathit{AB}$ 翻折得到 $\mathit{\Delta AB}{D}^{\text{'}}$ ．

①求证： $B{D}^{\text{'}}//\mathit{CD}$ ；

②若 $A{D}^{\text{'}}//\mathit{BC}$ ，求证： $C{D}^2=2\mathit{OD}·\mathit{BD}$ ．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，切线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$．

（1）求证： $\angle A=\angle \mathit{ADE}$；

（2）若 $\mathit{AD}=16$， $\mathit{DE}=10$，求 $\mathit{BC}$的长．

（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $O$在线段 $\mathit{BC}$上， $\angle \mathit{BAO}=30°$， $\angle \mathit{OAC}=75°$， $\mathit{AO}=3\sqrt{3}$， $\mathit{BO}:\mathit{CO}=1:3$，求 $\mathit{AB}$的长．

经过社团成员讨论发现，过点 $B$作 $\mathit{BD}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{AO}$的延长线于点 $D$，通过构造 $\mathit{\Delta ABD}$就可以解决问题（如图 $2)$．

请回答： $\angle \mathit{ADB}=$　　 $°$， $\mathit{AB}=$　　．

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AC}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AO}=3\sqrt{3}$， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}=75°$， $\mathit{BO}:\mathit{OD}=1:3$，求 $\mathit{DC}$的长．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ ，点 $D$ 在 $\odot O$ 上， $\widehat{\mathit{AC}}=\widehat{\mathit{CD}}$ ， $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ， $\mathit{AF}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，与 $\mathit{BC}$ 延长线相交于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{AF}$ ．

（2）若 $\mathit{EF}=12$ ， $\sin \angle \mathit{ABF}=\frac{3}{5}$ ，求 $\odot O$ 的半径．