初中数学等腰三角形的判定与性质解答题

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{CAB}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $C$作 $\mathit{CF}\perp \mathit{AE}$，交 $\mathit{AE}$的延长线于点 $G$，交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{BF}$；

（2）如图2，连接 $\mathit{BG}$、 $\mathit{BD}$，求证： $\mathit{BG}$平分 $\angle \mathit{DBF}$；

（3）如图3，连接 $\mathit{DG}$交 $\mathit{AC}$于点 $M$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{DM}}$的值．

如图，点 $D$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上一点，过点 $B$作 $\odot O$的切线，交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $C$， $E$是 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{DE}$并延长与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OB}=\mathit{BF}$， $\mathit{EF}=4$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=20$， $\tan B=\frac{3}{4}$，点 $D$为 $\mathit{BC}$边上的动点（点 $D$不与点 $B$， $C$重合）．以 $D$为顶点作 $\angle \mathit{ADE}=\angle B$，射线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$边于点 $E$，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{AD}$交射线 $\mathit{DE}$于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}\backsim \mathit{\Delta DCE}$；

（2）当 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$时（如图 $2)$，求 $\mathit{AE}$的长；

（3）点 $D$在 $\mathit{BC}$边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 $\mathit{DF}=\mathit{CF}$？若存在，求出此时 $\mathit{BD}$的长；若不存在，请说明理由．

在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BE}$平分 $\angle \mathit{ABC}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$．

（1）如图1，若 $\angle D=30°$， $\mathit{AB}=\sqrt{6}$，求 $\mathit{\Delta ABE}$的面积；

（2）如图2，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{DC}$，交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $F$，分别交 $\mathit{BE}$， $\mathit{BC}$于点 $G$， $H$，且 $\mathit{AB}=\mathit{AF}$．求证： $\mathit{ED}-\mathit{AG}=\mathit{FC}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$是 $\mathit{BC}$边上的中点，连结 $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$平分 $\angle \mathit{ABC}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$．

（1）若 $\angle C=36°$，求 $\angle \mathit{BAD}$的度数；

（2）求证： $\mathit{FB}=\mathit{FE}$．

如图， 已知： $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的弦， 过点 $B$ 作 $\mathit{BC}\perp \mathit{AB}$ 交 $\odot O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $D$ ，取 $\mathit{AD}$ 的中点 $E$ ，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 的延长线于点 $G$ ．

求证：

（1） $\mathit{FC}=\mathit{FG}$ ；

（2） $A{B}^2=\mathit{BC}·\mathit{BG}$ ．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle A=30°$， $\mathit{AB}=4$，动点 $P$从点 $A$出发，沿 $\mathit{AB}$以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$运动．过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp \mathit{AC}$于点 $D$（点 $P$不与点 $A$、 $B$重合），作 $\angle \mathit{DPQ}=60°$，边 $\mathit{PQ}$交射线 $\mathit{DC}$于点 $Q$．设点 $P$的运动时间为 $t$秒．

（1）用含 $t$的代数式表示线段 $\mathit{DC}$的长；

（2）当点 $Q$与点 $C$重合时，求 $t$的值；

（3）设 $\mathit{\Delta PDQ}$与 $\mathit{\Delta ABC}$重叠部分图形的面积为 $S$，求 $S$与 $t$之间的函数关系式；

（4）当线段 $\mathit{PQ}$的垂直平分线经过 $\mathit{\Delta ABC}$一边中点时，直接写出 $t$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle A=36°$， $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$．

求证： $\mathit{AD}=\mathit{BC}$．

在等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，

（1）如图1， $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两点， $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ， $\angle \mathit{BAP}=20°$ ，求 $\angle \mathit{AQB}$ 的度数；

（2）点 $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两个动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧，且 $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ，点 $Q$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 的对称点为 $M$ ，连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{PM}$ ．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点 $P$ ， $Q$ 运动的过程中，始终有 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta APM}$ 是等边三角形；

想法2：在 $\mathit{BA}$ 上取一点 $N$ ，使得 $\mathit{BN}=\mathit{BP}$ ，要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta ANP}\cong \mathit{\Delta PCM}$ ；

想法3：将线段 $\mathit{BP}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60°$ ，得到线段 $\mathit{BK}$ ，要证 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{PA}=\mathit{CK}$ ， $\mathit{PM}=\mathit{CK}\dots$

请你参考上面的想法，帮助小茹证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ （一种方法即可）．

如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，EF∥BC交AB、AC于E、F，△AEF的周长为15，BC长为7，求△ABC的周长．

（年贵州省遵义市）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．

（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE=3，BD—AD=2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．

（年云南省曲靖市）如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．