初中数学等边三角形的判定与性质解答题

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{AD}$， $\mathit{AB}$的中点．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta ADF}$；

（2）若 $\mathit{BE}=\sqrt{3}$， $\angle C=60°$，求菱形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle B=90°$， $\angle \mathit{BAC}$的平分线 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，点 $E$在 $\mathit{AC}$上，以 $\mathit{AE}$为直径的 $\odot O$经过点 $D$．

（1）求证：① $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

② $C{D}^2=\mathit{CE}·\mathit{CA}$；

（2）若点 $F$是劣弧 $\mathit{AD}$的中点，且 $\mathit{CE}=3$，试求阴影部分的面积．

如图1，菱形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A$， $D$在直线上， $\angle \mathit{BAD}=60°$，以点 $A$为旋转中心将菱形 $\mathit{ABCD}$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <30°)$，得到菱形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$， $B\text{'}C\text{'}$交对角线 $\mathit{AC}$于点 $M$， $C\text{'}D\text{'}$交直线 $l$于点 $N$，连接 $\mathit{MN}$．

（1）当 $\mathit{MN}//B\text{'}D\text{'}$时，求 $\alpha$的大小．

（2）如图2，对角线 $B\text{'}D\text{'}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$，交直线 $l$与点 $G$，延长 $C\text{'}B\text{'}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{EH}$．当 $\mathit{\Delta HEB}\text{'}$的周长为2时，求菱形 $\mathit{ABCD}$的周长．

如图， $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$是 $\odot O$的两条直径，过点 $C$的 $\odot O$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$．

（1）求证； $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{CAB}$；

（2）若 $B$是 $\mathit{OE}$的中点， $\mathit{AC}=12$，求 $\odot O$的半径．

如图，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于 $D$， $\mathit{AF}\perp \mathit{AC}$， $E$为线段 $\mathit{CD}$上一点，且 $\mathit{CE}=\mathit{AF}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$， $\mathit{EG}\perp \mathit{BF}$于 $G$，连接 $\mathit{DG}$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{BF}$；

（2）试说明 $\mathit{DG}$与 $\mathit{AF}$的位置关系和数量关系．

如图， $\angle \mathit{BPD}=120°$，点 $A$、 $C$分别在射线 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PD}$上， $\angle \mathit{PAC}=30°$， $\mathit{AC}=2\sqrt{3}$．

（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在 $A$、 $C$两点分别与射线 $\mathit{PB}$和 $\mathit{PD}$相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；

（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；

（3）求所得的劣弧与线段 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PC}$围成的封闭图形的面积．

如图， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PA}$切 $\odot O$于点 $A$， $\mathit{PB}$切 $\odot O$于点 $B$，且 $\angle \mathit{APB}=60°$．

（1）求 $\angle \mathit{BAC}$的度数；

（2）若 $\mathit{PA}=1$，求点 $O$到弦 $\mathit{AB}$的距离．

如图， $\mathit{AB}$为半圆 $O$的直径，点 $C$为半圆上任一点．

（1）若 $\angle \mathit{BAC}=30°$，过点 $C$作半圆 $O$的切线交直线 $\mathit{AB}$于点 $P$．求证： $\mathit{\Delta PBC}\cong \mathit{\Delta AOC}$；

（2）若 $\mathit{AB}=6$，过点 $C$作 $\mathit{AB}$的平行线交半圆 $O$于点 $D$．当以点 $A$， $O$， $C$， $D$为顶点的四边形为菱形时，求 $\widehat{\mathit{BC}}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ，点 $M$ 是 $\mathit{AC}$ 的中点，以 $\mathit{AB}$ 为直径作 $\odot O$ 分别交 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BM}$ 于点 $D$ ， $E$ ．

（1）求证： $\mathit{MD}=\mathit{ME}$ ；

（2）填空：

①若 $\mathit{AB}=6$ ，当 $\mathit{AD}=2\mathit{DM}$ 时， $\mathit{DE}=$　 　；

②连接 $\mathit{OD}$ ， $\mathit{OE}$ ，当 $\angle A$ 的度数为 　 　时，四边形 $\mathit{ODME}$ 是菱形．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于圆 $O$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，延长 $\mathit{BC}$ 到点 $D$ ，使 $\mathit{CD}=\mathit{CA}$ ，连接 $\mathit{AD}$ 交圆 $O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDE}$ ；

（2）填空：

①当 $\angle \mathit{ABC}$ 的度数为 　　时，四边形 $\mathit{AOCE}$ 是菱形．

②若 $\mathit{AE}=\sqrt{3}$ ， $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ，则 $\mathit{DE}$ 的长为 　　．

如图，在 $\odot O$中， $\angle \mathit{AOB}=120°$，点 $C$为 $\widehat{\mathit{AB}}$的中点，延长 $\mathit{OC}$到点 $D$，使 $\mathit{CD}=\mathit{OC}$， $\mathit{AB}$交 $\mathit{OC}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DA}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OA}=6$，求弦 $\mathit{AB}$的长．

在等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，

（1）如图1， $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两点， $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ， $\angle \mathit{BAP}=20°$ ，求 $\angle \mathit{AQB}$ 的度数；

（2）点 $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两个动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧，且 $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ，点 $Q$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 的对称点为 $M$ ，连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{PM}$ ．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点 $P$ ， $Q$ 运动的过程中，始终有 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta APM}$ 是等边三角形；

想法2：在 $\mathit{BA}$ 上取一点 $N$ ，使得 $\mathit{BN}=\mathit{BP}$ ，要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta ANP}\cong \mathit{\Delta PCM}$ ；

想法3：将线段 $\mathit{BP}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60°$ ，得到线段 $\mathit{BK}$ ，要证 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{PA}=\mathit{CK}$ ， $\mathit{PM}=\mathit{CK}\dots$

请你参考上面的想法，帮助小茹证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ （一种方法即可）．

如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．

试判断△BMN的形状，并说明理由.

（年贵州省铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．
求证：AD=CE．