初中数学三角形综合题解答题

如图1，在△ ABC中，设∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a， b， c，过点 A作 AD⊥ BC，垂足为 D，会有sin∠ C＝ $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}}$ ，则

S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$BC× AD＝ $\frac{1}{2}$ × BC× ACsin∠ C＝ $\frac{1}{2}$absin∠ C，

即 S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$absin∠ C

同理 S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$bcsin∠ A

S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$acsin∠ B

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：

如图2，在△ ABC中，若∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a， b， c，则

a ²＝ b ²+ c ²﹣2 bccos∠ A

b ²＝ a ²+ c ²﹣2 accos∠ B

c ²＝ a ²+ b ²﹣2 abcos∠ C

用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：

（1）如图3，在△ DEF中，∠ F＝60°，∠ D、∠ E的对边分别是3和8．求 S _{△ DEF}和 DE ²．

解： S _{△ DEF}＝ EF× DFsin∠ F＝ 　　；

DE ²＝ EF ²+ DF ²﹣2 EF× DFcos∠ F＝ 　　．

（2）如图4，在△ ABC中，已知 AC＞ BC，∠ C＝60°，△ ABC'、△ BCA'、△ ACB'分别是以 AB、 BC、 AC为边长的等边三角形，设△ ABC、△ ABC'、△ BCA'、△ ACB'的面积分别为 S ₁、 S ₂、 S ₃、 S ₄，求证： S ₁+ S ₂＝ S ₃+ S ₄．

如图，射线 $\mathit{AB}$ 和射线 $\mathit{CB}$ 相交于点 $B$ ， $\angle \mathit{ABC}=\alpha (0°<\alpha <180°)$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{CB}$ ．点 $D$ 是射线 $\mathit{CB}$ 上的动点（点 $D$ 不与点 $C$ 和点 $B$ 重合），作射线 $\mathit{AD}$ ，并在射线 $\mathit{AD}$ 上取一点 $E$ ，使 $\angle \mathit{AEC}=\alpha$ ，连接 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{BE}$ ．

（1）如图①，当点 $D$ 在线段 $\mathit{CB}$ 上， $\alpha =90°$ 时，请直接写出 $\angle \mathit{AEB}$ 的度数；

（2）如图②，当点 $D$ 在线段 $\mathit{CB}$ 上， $\alpha =120°$ 时，请写出线段 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CE}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当 $\alpha =120°$ ， $\tan \angle \mathit{DAB}=\frac{1}{3}$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{BE}}$ 的值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 是等边三角形， $\mathit{AB}=4\mathit{cm}$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $2\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{AB}$ 向点 $B$ 匀速运动，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AB}$ ，交折线 $\mathit{AC}-\mathit{CB}$ 于点 $Q$ ，以 $\mathit{PQ}$ 为边作等边三角形 $\mathit{PQD}$ ，使点 $A$ ， $D$ 在 $\mathit{PQ}$ 异侧．设点 $P$ 的运动时间为 $x\left(s\right)(0<x<2)$ ， $\mathit{\Delta PQD}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 重叠部分图形的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$ ．

（1） $\mathit{AP}$ 的长为 　 　 $\mathit{cm}$ （用含 $x$ 的代数式表示）．

（2）当点 $D$ 落在边 $\mathit{BC}$ 上时，求 $x$ 的值．

（3）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一 $)$ ，已知边长为2的等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 的重心为点 $O$ ，求 $\mathit{\Delta OBC}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积．

（2）性质探究：如图（二 $)$ ，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 的重心为点 $O$ ，请判断 $\frac{\mathit{OD}}{\mathit{OA}}$ 、 $\frac{S_{\mathit{\Delta OBC}}}{S_{\mathit{\Delta ABC}}}$ 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．

（3）性质应用：如图（三 $)$ ，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $\mathit{BE}$ 交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ．

①若正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为4，求 $\mathit{EM}$ 的长度；

②若 $S_{\mathit{\Delta CME}}=1$ ，求正方形 $\mathit{ABCD}$ 的面积．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}==90°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 在边 $\mathit{BC}$ 上， $\mathit{DE}\perp \mathit{DA}$ 且 $\mathit{DE}=\mathit{DA}$ ， $\mathit{AE}$ 交边 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{CE}$ ．

（1）特例发现：如图1，当 $\mathit{AD}=\mathit{AF}$ 时，

①求证： $\mathit{BD}=\mathit{CF}$ ；

②推断： $\angle \mathit{ACE}=$　 　 $°$ ；

（2）探究证明：如图2，当 $\mathit{AD}\ne \mathit{AF}$ 时，请探究 $\angle \mathit{ACE}$ 的度数是否为定值，并说明理由；

（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{AF}}=\frac{1}{3}$ 时，过点 $D$ 作 $\mathit{AE}$ 的垂线，交 $\mathit{AE}$ 于点 $P$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $K$ ，若 $\mathit{CK}=\frac{16}{3}$ ，求 $\mathit{DF}$ 的长．

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta DCE}$都是等边三角形．

探究发现

（1） $\mathit{\Delta BCD}$与 $\mathit{\Delta ACE}$是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．

拓展运用

（2）若 $B$、 $C$、 $E$三点不在一条直线上， $\angle \mathit{ADC}=30°$， $\mathit{AD}=3$， $\mathit{CD}=2$，求 $\mathit{BD}$的长．

（3）若 $B$、 $C$、 $E$三点在一条直线上（如图 $2)$，且 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta DCE}$的边长分别为1和2，求 $\mathit{\Delta ACD}$的面积及 $\mathit{AD}$的长．

如图①，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$边上， $\mathit{DC}=\mathit{EC}$，连接 $\mathit{DE}$、 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BD}$，点 $M$、 $N$、 $P$分别是 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{PM}$、 $\mathit{PN}$、 $\mathit{MN}$．

（1） $\mathit{BE}$与 $\mathit{MN}$的数量关系是　 　．

（2）将 $\mathit{\Delta DEC}$绕点 $C$逆时针旋转到图②和图③的位置，判断 $\mathit{BE}$与 $\mathit{MN}$有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，点 $D$， $E$在射线 $\mathit{BA}$上， $\mathit{BD}=\mathit{DE}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，交射线 $\mathit{CA}$于点 $F$．请答案下列问题：

（1）当点 $E$在线段 $\mathit{AB}$上， $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ACB}$的角平分线时，如图①，求证： $\mathit{AE}+\mathit{BC}=\mathit{CF}$；（提示：延长 $\mathit{CD}$， $\mathit{FE}$交于点 $M$． $)$

（2）当点 $E$在线段 $\mathit{BA}$的延长线上， $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ACB}$的角平分线时，如图②；当点 $E$在线段 $\mathit{BA}$的延长线上， $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ACB}$的外角平分线时，如图③，请直接写出线段 $\mathit{AE}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CF}$之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）、（2）的条件下，若 $\mathit{DE}=2\mathit{AE}=6$，则 $\mathit{CF}=$　　．

$\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$在直线 $\mathit{AB}$上．点 $E$在平面内，点 $F$在 $\mathit{BC}$的延长线上， $\angle E=\angle \mathit{BDC}$， $\mathit{AE}=\mathit{CD}$， $\angle \mathit{EAB}+\angle \mathit{DCF}=180°$；

（1）如图①，求证 $\mathit{AD}+\mathit{BC}=\mathit{BE}$；

（2）如图②、图③，请分别写出线段 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{BE}$之间的数量关系，不需要证明；

（3）若 $\mathit{BE}\perp \mathit{BC}$， $\tan \angle \mathit{BCD}=\frac{3}{4}$， $\mathit{CD}=10$，则 $\mathit{AD}=$　 　．

性质探究

如图（1），在等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=120°$，则底边 $\mathit{AB}$与腰 $\mathit{AC}$的长度之比为　　．

理解运用

（1）若顶角为 $120°$的等腰三角形的周长为 $4+2\sqrt{3}$，则它的面积为　　；

（2）如图（2），在四边形 $\mathit{EFGH}$中， $\mathit{EF}=\mathit{EG}=\mathit{EH}$，在边 $\mathit{FG}$， $\mathit{GH}$上分别取中点 $M$， $N$，连接 $\mathit{MN}$．若 $\angle \mathit{FGH}=120°$， $\mathit{EF}=20$，求线段 $\mathit{MN}$的长．

类比拓展

顶角为 $2\alpha$的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　．（用含 $\alpha$的式子表示）

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=n$， $M$是 $\mathit{BC}$上一点，连接 $\mathit{AM}$．

（1）如图1，若 $n=1$， $N$是 $\mathit{AB}$延长线上一点， $\mathit{CN}$与 $\mathit{AM}$垂直，求证： $\mathit{BM}=\mathit{BN}$．

（2）过点 $B$作 $\mathit{BP}\perp \mathit{AM}$， $P$为垂足，连接 $\mathit{CP}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $Q$．

①如图2，若 $n=1$，求证： $\frac{\mathit{CP}}{\mathit{PQ}}=\frac{\mathit{BM}}{\mathit{BQ}}$．

②如图3，若 $M$是 $\mathit{BC}$的中点，直接写出 $\tan \angle \mathit{BPQ}$的值．（用含 $n$的式子表示）

如图1是实验室中的一种摆动装置， $\mathit{BC}$在地面上，支架 $\mathit{ABC}$是底边为 $\mathit{BC}$的等腰直角三角形，摆动臂 $\mathit{AD}$可绕点 $A$旋转，摆动臂 $\mathit{DM}$可绕点 $D$旋转， $\mathit{AD}=30$， $\mathit{DM}=10$．

（1）在旋转过程中，

①当 $A$， $D$， $M$三点在同一直线上时，求 $\mathit{AM}$的长．

②当 $A$， $D$， $M$三点为同一直角三角形的顶点时，求 $\mathit{AM}$的长．

（2）若摆动臂 $\mathit{AD}$顺时针旋转 $90°$，点 $D$的位置由 $\mathit{\Delta ABC}$外的点 $D_1$转到其内的点 $D_2$处，连结 $D_1{D}_2$，如图2，此时 $\angle A{D}_{2}C=135°$， $C{D}_2=60$，求 $B{D}_2$的长．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 是等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\mathit{CD}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{CE}$ ， $\mathit{DE}=\mathit{CE}$ ，连接 $\mathit{AE}$ ，点 $M$ 是 $\mathit{AE}$ 的中点．

（1）如图1，若点 $D$ 在 $\mathit{BC}$ 边上，连接 $\mathit{CM}$ ，当 $\mathit{AB}=4$ 时，求 $\mathit{CM}$ 的长；

（2）如图2，若点 $D$ 在 $\mathit{\Delta ABC}$ 的内部，连接 $\mathit{BD}$ ，点 $N$ 是 $\mathit{BD}$ 中点，连接 $\mathit{MN}$ ， $\mathit{NE}$ ，求证： $\mathit{MN}\perp \mathit{AE}$ ；

（3）如图3，将图2中的 $\mathit{\Delta CDE}$ 绕点 $C$ 逆时针旋转，使 $\angle \mathit{BCD}=30°$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，点 $N$ 是 $\mathit{BD}$ 中点，连接 $\mathit{MN}$ ，探索 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{AC}}$ 的值并直接写出结果．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle B=45°$ ， $\angle C=30°$ ，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 上一点，连接 $\mathit{AD}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AG}\perp \mathit{AD}$ ，在 $\mathit{AG}$ 上取点 $F$ ，连接 $\mathit{DF}$ ．延长 $\mathit{DA}$ 至 $E$ ，使 $\mathit{AE}=\mathit{AF}$ ，连接 $\mathit{EG}$ ， $\mathit{DG}$ ，且 $\mathit{GE}=\mathit{DF}$ ．

（1）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ，求 $\mathit{BC}$ 的长；

（2）如图1，当点 $G$ 在 $\mathit{AC}$ 上时，求证： $\mathit{BD}=\frac{1}{2}\mathit{CG}$ ；

（3）如图2，当点 $G$ 在 $\mathit{AC}$ 的垂直平分线上时，直接写出 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{CG}}$ 的值．

（1）问题发现

如图1，在 $\mathit{\Delta OAB}$和 $\mathit{\Delta OCD}$中， $\mathit{OA}=\mathit{OB}$， $\mathit{OC}=\mathit{OD}$， $\angle \mathit{AOB}=\angle \mathit{COD}=40°$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $M$．填空：

① $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BD}}$的值为　　；

② $\angle \mathit{AMB}$的度数为　　．

（2）类比探究

如图2，在 $\mathit{\Delta OAB}$和 $\mathit{\Delta OCD}$中， $\angle \mathit{AOB}=\angle \mathit{COD}=90°$， $\angle \mathit{OAB}=\angle \mathit{OCD}=30°$，连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{BD}$的延长线于点 $M$．请判断 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BD}}$的值及 $\angle \mathit{AMB}$的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将 $\mathit{\Delta OCD}$绕点 $O$在平面内旋转， $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$所在直线交于点 $M$，若 $\mathit{OD}=1$， $\mathit{OB}=\sqrt{7}$，请直接写出当点 $C$与点 $M$重合时 $\mathit{AC}$的长．