初中数学三角形综合题解答题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=6$， $\angle \mathit{BAC}=60°$， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}//\mathit{AC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，点 $M$是线段 $\mathit{AD}$上的动点，连结 $\mathit{BM}$并延长分别交 $\mathit{DE}$， $\mathit{AC}$于点 $F$、 $G$．

（1）求 $\mathit{CD}$的长．

（2）若点 $M$是线段 $\mathit{AD}$的中点，求 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{DF}}$的值．

（3）请问当 $\mathit{DM}$的长满足什么条件时，在线段 $\mathit{DE}$上恰好只有一点 $P$，使得 $\angle \mathit{CPG}=60°$？

如图1和图2，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BC}=8$， $\tan C=\frac{3}{4}$．点 $K$在 $\mathit{AC}$边上，点 $M$， $N$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{AM}=\mathit{CN}=2$．点 $P$从点 $M$出发沿折线 $\mathit{MB}-\mathit{BN}$匀速移动，到达点 $N$时停止；而点 $Q$在 $\mathit{AC}$边上随 $P$移动，且始终保持 $\angle \mathit{APQ}=\angle B$．

（1）当点 $P$在 $\mathit{BC}$上时，求点 $P$与点 $A$的最短距离；

（2）若点 $P$在 $\mathit{MB}$上，且 $\mathit{PQ}$将 $\mathit{\Delta ABC}$的面积分成上下 $4:5$两部分时，求 $\mathit{MP}$的长；

（3）设点 $P$移动的路程为 $x$，当 $0⩽x⩽3$及 $3⩽x⩽9$时，分别求点 $P$到直线 $\mathit{AC}$的距离（用含 $x$的式子表示）；

（4）在点 $P$处设计并安装一扫描器，按定角 $\angle \mathit{APQ}$扫描 $\mathit{\Delta APQ}$区域（含边界），扫描器随点 $P$从 $M$到 $B$再到 $N$共用时36秒．若 $\mathit{AK}=\frac{9}{4}$，请直接写出点 $K$被扫描到的总时长．

如图1， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$为边 $\mathit{AC}$上一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$．点 $M$为 $\mathit{BD}$中点， $\mathit{CM}$的延长线交 $\mathit{AB}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CM}=\mathit{EM}$；

（2）若 $\angle \mathit{BAC}=50°$，求 $\angle \mathit{EMF}$的大小；

（3）如图2，若 $\mathit{\Delta DAE}\cong \mathit{\Delta CEM}$，点 $N$为 $\mathit{CM}$的中点，求证： $\mathit{AN}//\mathit{EM}$．