初中数学垂径定理的应用解答题

（1）如图1，有一个残缺圆，请作出残缺圆的圆心 $O$（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）如图2，设 $\mathit{AB}$是该残缺圆 $\odot O$的直径， $C$是圆上一点， $\angle \mathit{CAB}$的角平分线 $\mathit{AD}$交 $\odot O$于点 $D$，过 $D$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $E$．

①求证： $\mathit{AE}\perp \mathit{DE}$；

②若 $\mathit{DE}=3$， $\mathit{AC}=2$，求残缺圆的半圆面积．

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 $O$为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦 $\mathit{AB}$长为6米， $\angle \mathit{OAB}=41.3°$，若点 $C$为运行轨道的最高点 $(C$， $O$的连线垂直于 $\mathit{AB})$，求点 $C$到弦 $\mathit{AB}$所在直线的距离．

（参考数据： $\sin 41.3°\approx 0.66$， $\cos 41.3°\approx 0.75$， $\tan 41.3°\approx 0.88)$

（1）如图①，用尺规作图作出圆的一条直径EF（不写作法,保留作图痕迹）；
（2）如图②，A、B、C、D为圆上四点，AB∥CD，AB＜CD，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF（不写画法，保留画图痕迹）．