初中数学三角形的外接圆与外心计算题

阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点 $P$、 $Q$的坐标分别是 $P(x_1$， $y_1)$、

$Q(x_2$， $y_2)$，则 $P$、 $Q$这两点间的距离为 $\left|\mathit{PQ}\right|=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2}$．如 $P(1,2)$， $Q(3,4)$，则 $\left|\mathit{PQ}\right|=\sqrt{{(1-3)}^2+{(2-4)}^2}=2\sqrt{2}$．

对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．

解决问题：如图，已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=\mathit{kx}+\frac{1}{2}$交 $y$轴于点 $A$，点 $A$关于 $x$轴的对称点为点 $B$，过点 $B$作直线 $l$平行于 $x$轴．

（1）到点 $A$的距离等于线段 $\mathit{AB}$长度的点的轨迹是　 　；

（2）若动点 $C(x,y)$满足到直线 $l$的距离等于线段 $\mathit{CA}$的长度，求动点 $C$轨迹的函数表达式；

问题拓展：（3）若（2）中的动点 $C$的轨迹与直线 $y=\mathit{kx}+\frac{1}{2}$交于 $E$、 $F$两点，分别过 $E$、 $F$作直线 $l$的垂线，垂足分别是 $M$、 $N$，求证：

① $\mathit{EF}$是 $\mathit{\Delta AMN}$外接圆的切线；

② $\frac{1}{\mathit{AE}}+\frac{1}{\mathit{AF}}$为定值．

如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，点 $P$是 $\mathit{AB}$边上的一个动点，连接 $\mathit{CP}$，过点 $P$作 $\mathit{PC}$的垂线交 $\mathit{AD}$于点 $E$，以 $\mathit{PE}$为边作正方形 $\mathit{PEFG}$，顶点 $G$在线段 $\mathit{PC}$上，对角线 $\mathit{EG}$、 $\mathit{PF}$相交于点 $O$．

（1）若 $\mathit{AP}=1$，则 $\mathit{AE}=$　 　；

（2）①求证：点 $O$一定在 $\mathit{\Delta APE}$的外接圆上；

②当点 $P$从点 $A$运动到点 $B$时，点 $O$也随之运动，求点 $O$经过的路径长；

（3）在点 $P$从点 $A$到点 $B$的运动过程中， $\mathit{\Delta APE}$的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到 $\mathit{AB}$边的距离的最大值．