初中数学切线的性质解答题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+6\mathit{ax}(a$为常数， $a>0)$与 $x$轴交于 $O$， $A$两点，点 $B$为抛物线的顶点，点 $D$的坐标为 $(t$， $0\left)\right(-3<t<0)$，连接 $\mathit{BD}$并延长与过 $O$， $A$， $B$三点的 $\odot P$相交于点 $C$．

（1）求点 $A$的坐标；

（2）过点 $C$作 $\odot P$的切线 $\mathit{CE}$交 $x$轴于点 $E$．

①如图1，求证： $\mathit{CE}=\mathit{DE}$；

②如图2，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{BO}$，当 $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$， $\angle \mathit{CAE}=\angle \mathit{OBE}$时，求 $\frac{1}{\mathit{OD}}-\frac{1}{\mathit{OE}}$的值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xoy}$中， $O$为坐标原点，点 $A(4,0)$，点 $B(0,4)$， $\mathit{\Delta ABO}$的中线 $\mathit{AC}$与 $y$轴交于点 $C$，且 $\odot M$经过 $O$， $A$， $C$三点．

（1）求圆心 $M$的坐标；

（2）若直线 $\mathit{AD}$与 $\odot M$相切于点 $A$，交 $y$轴于点 $D$，求直线 $\mathit{AD}$的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，在过点 $B$且以圆心 $M$为顶点的抛物线上有一动点 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PE}//y$轴，交直线 $\mathit{AD}$于点 $E$．若以 $\mathit{PE}$为半径的 $\odot P$与直线 $\mathit{AD}$相交于另一点 $F$．当 $\mathit{EF}=4\sqrt{5}$时，求点 $P$的坐标．