初中数学弧长的计算解答题

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形，以边 $\mathit{AB}$为直径作 $\odot O$，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上，连结 $\mathit{AE}$交 $\odot O$于点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta BCG}$；

（2）若 $\angle \mathit{AEB}=55°$， $\mathit{OA}=3$，求劣弧 $\widehat{\mathit{BF}}$的长．（结果保留 $\pi )$

如图是由边长为1的小正方形组成的 $8\times 4$网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点 $A$， $B$， $C$， $D$均在格点上，在网格中将点 $D$按下列步骤移动：

第一步：点 $D$绕点 $A$顺时针旋转 $180°$得到点 $D_1$；

第二步：点 $D_1$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$得到点 $D_2$；

第三步：点 $D_2$绕点 $C$顺时针旋转 $90°$回到点 $D$．

（1）请用圆规画出点 $D\to D_1\to D_2\to D$经过的路径；

（2）所画图形是　　对称图形；

（3）求所画图形的周长（结果保留 $\pi )$．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$切 $\odot O$于点 $A$， $\mathit{BC}$交 $\odot O$于点 $D$．已知 $\odot O$的半径为6， $\angle C=40°$．

（1）求 $\angle B$的度数．

（2）求 $\widehat{\mathit{AD}}$的长．（结果保留 $\pi )$

如图1和2， $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=15$， $\tan \angle \mathit{DAB}=\frac{4}{3}$．点 $P$为 $\mathit{AB}$延长线上一点，过点 $A$作 $\odot O$切 $\mathit{CP}$于点 $P$，设 $\mathit{BP}=x$．

（1）如图1， $x$为何值时，圆心 $O$落在 $\mathit{AP}$上？若此时 $\odot O$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，直接指出 $\mathit{PE}$与 $\mathit{BC}$的位置关系；

（2）当 $x=4$时，如图2， $\odot O$与 $\mathit{AC}$交于点 $Q$，求 $\angle \mathit{CAP}$的度数，并通过计算比较弦 $\mathit{AP}$与劣弧 $\widehat{\mathit{PQ}}$长度的大小；

（3）当 $\odot O$与线段 $\mathit{AD}$只有一个公共点时，直接写出 $x$的取值范围．

如图，点 $A$在数轴上对应的数为26，以原点 $O$为圆心， $\mathit{OA}$为半径作优弧 $\widehat{\mathit{AB}}$，使点 $B$在 $O$右下方，且 $\tan \angle \mathit{AOB}=\frac{4}{3}$，在优弧 $\widehat{\mathit{AB}}$上任取一点 $P$，且能过 $P$作直线 $l//\mathit{OB}$交数轴于点 $Q$，设 $Q$在数轴上对应的数为 $x$，连接 $\mathit{OP}$．

（1）若优弧 $\widehat{\mathit{AB}}$上一段 $\widehat{\mathit{AP}}$的长为 $13\pi$，求 $\angle \mathit{AOP}$的度数及 $x$的值；

（2）求 $x$的最小值，并指出此时直线 $l$与 $\widehat{\mathit{AB}}$所在圆的位置关系；

（3）若线段 $\mathit{PQ}$的长为12.5，直接写出这时 $x$的值．

如图， $\mathit{AB}=16$， $O$为 $\mathit{AB}$中点，点 $C$在线段 $\mathit{OB}$上（不与点 $O$， $B$重合），将 $\mathit{OC}$绕点 $O$逆时针旋转 $270°$后得到扇形 $\mathit{COD}$， $\mathit{AP}$， $\mathit{BQ}$分别切优弧 $\widehat{\mathit{CD}}$于点 $P$， $Q$，且点 $P$， $Q$在 $\mathit{AB}$异侧，连接 $\mathit{OP}$．

（1）求证： $\mathit{AP}=\mathit{BQ}$；

（2）当 $\mathit{BQ}=4\sqrt{3}$时，求 $\widehat{\mathit{QD}}$的长（结果保留 $\pi )$；

（3）若 $\mathit{\Delta APO}$的外心在扇形 $\mathit{COD}$的内部，求 $\mathit{OC}$的取值范围．

如图，半圆 $O$ 的直径 $\mathit{AB}=4$ ，以长为2的弦 $\mathit{PQ}$ 为直径，向点 $O$ 方向作半圆 $M$ ，其中 $P$ 点在 $\widehat{\mathit{AQ}}$ 上且不与 $A$ 点重合，但 $Q$ 点可与 $B$ 点重合．

发现： $\widehat{\mathit{AP}}$ 的长与 $\widehat{\mathit{QB}}$ 的长之和为定值 $l$ ，求 $l:$

思考：点 $M$ 与 $\mathit{AB}$ 的最大距离为 　　，此时点 $P$ ， $A$ 间的距离为 　　；

点 $M$ 与 $\mathit{AB}$ 的最小距离为 　　，此时半圆 $M$ 的弧与 $\mathit{AB}$ 所围成的封闭图形面积为 　　；

探究：当半圆 $M$ 与 $\mathit{AB}$ 相切时，求 $\widehat{\mathit{AP}}$ 的长．

（注：结果保留 $\pi$ ， $\cos 35°=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $\cos 55°=\frac{\sqrt{3}}{3})$

（年贵州省黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．

（1）求证：PN与⊙O相切；
（2）如果∠MPC=30°，PE=，求劣弧的长．

（年云南省昆明市）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．

（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点A₁的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A₂BC₂；
（3）求出（2）中C点旋转到C₂点所经过的路径长（记过保留根号和π）．