初中数学轴对称的性质解答题

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=8$，点 $E$， $F$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$的中点．

（1）求证：四边形 $\mathit{AEFD}$是矩形；

（2）如图2，点 $P$是边 $\mathit{AD}$上一点， $\mathit{BP}$交 $\mathit{EF}$于点 $O$，点 $A$关于 $\mathit{BP}$的对称点为点 $M$，当点 $M$落在线段 $\mathit{EF}$上时，则有 $\mathit{OB}=\mathit{OM}$．请说明理由；

（3）如图3，若点 $P$是射线 $\mathit{AD}$上一个动点，点 $A$关于 $\mathit{BP}$的对称点为点 $M$，连接 $\mathit{AM}$， $\mathit{DM}$，当 $\mathit{\Delta AMD}$是等腰三角形时，求 $\mathit{AP}$的长．

如图1，在平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $B(6,0)$ 和点 $C(0,-3)$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，线段 $\mathit{OC}$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $30°$ 得到线段 $\mathit{OD}$ ．过点 $B$ 作射线 $\mathit{BD}$ ，点 $M$ 是射线 $\mathit{BD}$ 上一点（不与点 $B$ 重合），点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $N$ ，连接 $\mathit{NM}$ ， $\mathit{NB}$ ．

①直接写出 $\mathit{\Delta MBN}$ 的形状为 　 　；

②设 $\mathit{\Delta MBN}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ODB}$ 的面积为是 $S_2$ ．当 $S_1=\frac{2}{3}{S}_2$ 时，求点 $M$ 的坐标；

（3）如图3，在（2）的结论下，过点 $B$ 作 $\mathit{BE}\perp \mathit{BN}$ ，交 $\mathit{NM}$ 的延长线于点 $E$ ，线段 $\mathit{BE}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <120°)$ 得到线段 $\mathit{BF}$ ，过点 $F$ 作 $\mathit{FK}//x$ 轴，交射线 $\mathit{BE}$ 于点 $K$ ， $\angle \mathit{KBF}$ 的角平分线和 $\angle \mathit{KFB}$ 的角平分线相交于点 $G$ ，当 $\mathit{BG}=2\sqrt{3}$ 时，请直接写出点 $G$ 的坐标为 　　．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+3$的图象与 $y$轴交于点 $A$，过点 $A$作 $x$轴的平行线交抛物线于另一点 $B$，抛物线过点 $C(1,0)$，且顶点为 $D$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$．

（1）填空： $b=$　 　；

（2）点 $P$是抛物线上一点，点 $P$的横坐标大于1，直线 $\mathit{PC}$交直线 $\mathit{BD}$于点 $Q$．若 $\angle \mathit{CQD}=\angle \mathit{ACB}$，求点 $P$的坐标；

（3）点 $E$在直线 $\mathit{AC}$上，点 $E$关于直线 $\mathit{BD}$对称的点为 $F$，点 $F$关于直线 $\mathit{BC}$对称的点为 $G$，连接 $\mathit{AG}$．当点 $F$在 $x$轴上时，直接写出 $\mathit{AG}$的长．

如图1，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{(x+2)}^2+6$与抛物线 $y_1=-x^2+\frac{1}{2}\mathit{tx}+t-2$相交 $y$轴于点 $C$，抛物线 $y_1$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $B$在点 $A$的右侧），直线 $y_2=\mathit{kx}+3$交 $x$轴负半轴于点 $N$，交 $y$轴于点 $M$，且 $\mathit{OC}=\mathit{ON}$．

（1）求抛物线 $y_1$的解析式与 $k$的值；

（2）抛物线 $y_1$的对称轴交 $x$轴于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$，在 $x$轴上方的对称轴上找一点 $E$，使以点 $A$， $D$， $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$相似，求出 $\mathit{DE}$的长；

（3）如图2，过抛物线 $y_1$上的动点 $G$作 $\mathit{GH}\perp x$轴于点 $H$，交直线 $y_2=\mathit{kx}+3$于点 $Q$，若点 $Q^{\text{'}}$是点 $Q$关于直线 $\mathit{MG}$的对称点，是否存在点 $G$（不与点 $C$重合），使点 $Q^{\text{'}}$落在 $y$轴上？若存在，请直接写出点 $G$的横坐标，若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,5)$，与 $x$轴相交于 $B(-1,0)$， $C(3,0)$两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点 $D$在抛物线的对称轴上，且位于 $x$轴的上方，将 $\mathit{\Delta BCD}$沿直线 $\mathit{BD}$翻折得到△ $B{C}^{\text{'}}D$，若点 $C^{\text{'}}$恰好落在抛物线的对称轴上，求点 $C^{\text{'}}$和点 $D$的坐标；

（3）设 $P$是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点 $Q$在抛物线的对称轴上，当 $\mathit{\Delta CPQ}$为等边三角形时，求直线 $\mathit{BP}$的函数表达式．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，对称轴与 $x$轴交于点 $D$，点 $E(4,n)$在抛物线上．

（1）求直线 $\mathit{AE}$的解析式；

（2）点 $P$为直线 $\mathit{CE}$下方抛物线上的一点，连接 $\mathit{PC}$， $\mathit{PE}$．当 $\mathit{\Delta PCE}$的面积最大时，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{CB}$，点 $K$是线段 $\mathit{CB}$的中点，点 $M$是 $\mathit{CP}$上的一点，点 $N$是 $\mathit{CD}$上的一点，求 $\mathit{KM}+\mathit{MN}+\mathit{NK}$的最小值；

（3）点 $G$是线段 $\mathit{CE}$的中点，将抛物线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$沿 $x$轴正方向平移得到新抛物线 $y\text{'}$， $y\text{'}$经过点 $D$， $y\text{'}$的顶点为点 $F$．在新抛物线 $y\text{'}$的对称轴上，是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta FGQ}$为等腰三角形？若存在，直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

问题提出

（1）如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=5$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆半径 $R$的值为　　．

问题探究

（2）如图②， $\odot O$的半径为13，弦 $\mathit{AB}=24$， $M$是 $\mathit{AB}$的中点， $P$是 $\odot O$上一动点，求 $\mathit{PM}$的最大值．

问题解决

（3）如图③所示， $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$、 $\widehat{\mathit{BC}}$是某新区的三条规划路，其中 $\mathit{AB}=6\mathit{km}$， $\mathit{AC}=3\mathit{km}$， $\angle \mathit{BAC}=60°$， $\widehat{\mathit{BC}}$所对的圆心角为 $60°$，新区管委会想在 $\widehat{\mathit{BC}}$路边建物资总站点 $P$，在 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$路边分别建物资分站点 $E$、 $F$，也就是，分别在 $\widehat{\mathit{BC}}$、线段 $\mathit{AB}$和 $\mathit{AC}$上选取点 $P$、 $E$、 $F$．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按 $P\to E\to F\to P$的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路 $\mathit{PE}$、 $\mathit{EF}$和 $\mathit{FP}$．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段 $\mathit{PE}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{FP}$之和最短，试求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}+\mathit{FP}$的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）