2010年高考试题分项版文科数学之专题十五 推理与证明

已知集合 $S_n=\left\{X\right|X=(x_1,x_2,\dots ,x_n),x_i\in \{0,1\},i=1,2,\dots ,n\left\}\right(n\ge 2)$，对于 $A=(a_1,a_2,\dots ,a_n),B=(b_1,b_2,\dots ,b_n)\in S_n$，定义 $A$与 $B$的差为 $A-B=\left(\right|a_1-b_1|，|a_2-b_2|，\dots ，|a_n-b_n\left|\right)$； $A$与 $B$之间的距离为 $d(A,B)=\underset{i-1}{\sum }\left|a_1-b_1\right|$，

(Ⅰ)当 $n=5$时，设 $A=(0,1,0,0,1)$， $B=(1,1,1,0,0)$，求 $A-B$， $d(A,B)$ ；

(Ⅱ)证明： $A,B,C\in S_n$，有 $A-B\in S_n$，且 $d(A-C,B-C)=d(A,B)$；

(Ⅲ)证明： $A,B,C\in S_n$, $d(A,B),d(A,C),d(B,C)$ 三个数中至少有一个是偶数．

对于平面上的点集 $\Omega$ ，如果连接 $\Omega$ 中任意两点的线段必定包涵 $\Omega$ ，则称 $\Omega$ 为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：
其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）.

观察下列等式：
① $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$；
② $\cos 4\alpha =8{\cos }^4\alpha －8{\cos }^2\alpha +1$；
③ $\cos 6\alpha =32{\cos }^6\alpha －48{\cos }^4\alpha ＋18{\cos }^2\alpha －1$；
④ $\cos 8\alpha =128{\cos }^8\alpha －256{\cos }^6\alpha ＋160{\cos }^4\alpha －32{\cos }^2\alpha ＋1$；
⑤ $\cos 10\alpha =\mathit{m}{\cos }^{10}\alpha －1280{\cos }^8\alpha ＋1120{\cos }^6\alpha ＋\mathit{n}{\cos }^4\alpha ＋\mathit{p}{\cos }^2\alpha －1$；
可以推测，       .

给出下面的数表序列，其中表 $n(n=1,2,3,\dots )$ 有 $n$ 行，第1行的 $n$ 个数是1，3，5，…，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。

（1）写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 $n(n\ge 3)$ （不要求证明）；

（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为 $\left\{b_n\right\}$ ，求和： $\frac{b_3}{b_1{b}_2}+\frac{b_4}{b_2{b}_3}+...+\frac{b_{n+2}}{b_n{b}_{n+1}}(n\in N^{*})$ .

设函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{a}{2}{x}^2+bx+c$，其中 $a>0$，曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $P(0,f(0\left)\right)$处的切线方程为 $y=1$.

（Ⅰ）确定 $b,c$的值.
（Ⅱ）设曲线 $y=f\left(x\right)$在点（ $(x_1,f(x_1\left)\right)$）及（ $(x_2,f(x_2\left)\right)$）处的切线都过点（0,2）证明：当 $x_1\ne x_2$时， $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$.

（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线 $y=f\left(x\right)$的三条不同切线，求 $a$的取值范围.

正实数数列 $\left\{a_n\right\}$中, $a_1=1,a_2=5$,且 $\left\{{a_n}^2\right\}$成等差数列.
(1) 证明数列 $\left\{a_n\right\}$中有无穷多项为无理数；
(2)当 $n$为何值时， $a_n$为整数，并求出使 $a_n<200$的所有整数项的和.

观察下列等式： $1^3+2^3=(1+2{)}^2,1^3+2^3+3^3=(1+2+3{)}^2$， $1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4{)}^2,...$&#xa0;根据上述规律，第四个等式为.

已知曲线 $C_n:y=n{x}^2$,点 $P_n\left(x_n,y_n\right)\left(x_n>0,y_n>0\right)$是曲线 $C_n$上的点 $\left(n=1,2,\cdots \right)$.
（1）试写出曲线 $C_n$在点 $P_n$处的切线 $l_n$的方程，并求出 $l_n$与 $y$轴的交点 $Q_n$的坐标；
（2）若原点 $O\left(0,0\right)$到 $l_n$的距离与线段 $P_n{Q}_n$的长度之比取得最大值，试求试点 $P_n$ $\left(x_n,y_n\right)$；
（3）设 $m$与 $k$为两个给定的不同的正整数， $x_n$与 $y_n$是满足（2）中条件的点 $P_n$的坐标，证明： $\underset{n=1}{\overset{s}{\sum }}\left|\sqrt{\frac{\left(m+1\right)x_n}{2}}-\sqrt{\left(k+1\right)y_k}\right|<\left|\sqrt{ms}-\sqrt{ks}\right|\left(s=1,2,\cdots \right)$

观察，,，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记的导函数，则

A．

B．

C．

D．