2007年全国统一高考理科数学试卷（江西卷）

化简 $\frac{2+4i}{(1+i{)}^2}$ 的结果是（  ）

$\underset{n\to 1}{lim}\frac{x^3-x^2}{x-1}$

若 $\tan (\frac{\pi }{4}-\alpha )=3$，则 $cot\alpha$等于

已知 ${\left(\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right)}^n$展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则 $n$等于（）

若 $0＜x＜\frac{\mathrm{\pi }}{2}$，则下列命题中正确的是（）

若集合 $M=\left\{0,1,2\right\}$, $N=\left\{(x,y)|x-2y+1\ge 0且x-2y-1\le 0,x,y\in M\right\}$，则 $N$中元素的个数为(   )

如图,正方体 $A{C}_1$ 的棱长为1,过点A作平面 $A_{1}BD$ 的垂线,垂足为点 $H$ .则以下命题中,错误的命题是（  ）

四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为 $h_1,h_2,h_3,h_4$ ，则它们的大小关系正确的是（   ）

$P(x_1,x_2)$设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为 $e=\frac{1}{2}$,右焦点为 $F(c,0)$，方程 $a{x}^2+bx-c=0$的两个实根分别为 $x_1$和 $x_2$，则点P(x₁,x₂)（）

将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为

设函数 $f\left(x\right)$是 $R$上以 $5$为周期的可导偶函数，则曲线 $y＝f\left(x\right)$在 $x＝5$处的切线的斜率为（）

设 $p:f\left(x\right)=e^x+\ln \left(x\right)+2x^2+mx+1$在 $\left(0,+\infty \right)$内单调递增， $q：m\ge -5$，则 $p$是 $q$的（）

设函数 $y＝4＋{\log }_2(x－1)(x\ge 3)$，则其反函数的定义域为．

已知数列 $\left\{an\right\}$对于任意 $p,q\in N*$，有 $a_p+a_q=a_{p+q}$，若 $a_1=\frac{1}{9}$，则 $a_{36}=$.

如图，在 $∆ABC$ 中，点 $O$ 是 $BC$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交直线 $AB,AC$ 于不同的两点 $M,N$ ,若 $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=m\stackrel{\rightharpoonup }{AM},\stackrel{\rightharpoonup }{AC}=n\stackrel{\rightharpoonup }{AN}$ ,则 $m+n$ 的值为   ．

设有一组圆 $C_k:(x-k+1{)}^2+(y-3k{)}^2=2k^4(k\in N^{+})$．下列四个命题：

其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}cx+1(0<x<c)\\ 2^{-\frac{x}{c^2}}+k(c\le x<1)\end{array}\right.$ 在区间(0，1)内连续,且 $f\left(c^2\right)=\frac{9}{8}$ ．
（1）求实数 $k$ 和 $c$ 的值；
（2）解不等式 $f\left(x\right)>\frac{\sqrt{2}}{8}+1$

如图,函数 $y=2\cos \left(\omega x+\theta \right)\left(x\in R,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\right)$ 的图象与 $y$ 轴交于点( $0,\sqrt{3}$ )，且在该点处切线的斜率为 $-2$ ．
（1）求 $\theta$ 和 $\omega$ 的值；
（2）已知点 $A\left(\frac{\pi }{2},0\right)$ ，点 $P$ 是该函数图象上一点，点 $Q\left(x_0,y_0\right)$ 是 $PA$ 的中点，当 $y_0=\frac{\sqrt{3}}{2},x_0\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 时，求 $x_0$ 的值．

某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，&#xa0; 0.6，&#xa0; 0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为 $\xi$，求随机变量 $\xi$的期望．

如图是一个直三棱柱（以 $A_1{B}_{1}C$ 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 $ABC$ ．已知 $A_1{B}_1=B_1{C}_1=1,\angle A_1{B}_1{C}_1={90}^o,A{A}_1=4,B{B}_1=2,C{C}_1=3$ ， $\angle A_l{B}_l{C}_1＝90°$ ，
$A{A}_l＝4$ ， $B{B}_l＝2$ ， $C{C}_l＝3$ ．
（1）设点 $O$ 是 $AB$ 的中点，证明： $OC\parallel$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$

（2）求二面角 $B-AC-A_1$ 的大小；
（3）求此几何体的体积．

设动点 $P$ 到点 $A$ $\left(-1，0\right)$ 和 $B\left(1，0\right)$ 的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$ ，
$\angle APB=2\theta$ ,且存在常数 $\lambda$ ( $0<\lambda <1$ ,使得 $d_1{d}_2{\sin }^2\theta =\lambda$ ．
（1）证明：动点 $P$ 的轨迹 $C$ 为双曲线，并求出 $C$ 的方程；
（2）过点 $B$ 作直线交双曲线 $C$ 的右支于 $M$ 、 $N$ 两
点,试确定λ的范围,使 $\underset{OM}{\to }.\underset{ON}{\to }=0$ ,其中点O为坐标原点．

设正整数数列 $\left\{a_n\right\}$满足： $a_2=4$，且对于任何 $n\in N^{*}$，有 $2+\frac{1}{a_{n+1}}<\frac{{\displaystyle \frac{1}{a_n+a_{n-1}}}}{{\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}}<2+\frac{1}{a_n}$．
（1）求 $a_1,a_3$；
（2）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项 $a_n$．