2007年全国统一高考理科数学试卷（北京卷）

已知 $\cos \theta ·\sin \theta <0$，那么角 $\theta$是（）

函数 $f\left(x\right)=3^x\left(0<x\le 2\right)$的反函数的定义域为（）

平面 $\alpha //$平面 $\beta$的一个充分条件是（　　）

已知 $O$是 $△ABC$所在平面内一点， $D$为 $BC$边中点，且 $2\stackrel{\rightharpoonup }{OA}+\stackrel{\rightharpoonup }{OB}+\stackrel{\rightharpoonup }{OC}=\mathbf{0}$，那么（）

记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）

若不等式组 $\{\begin{array}{c}x-y\ge 0\\ 2x+y\le 2\\ y\ge 0\\ x+y\le a\end{array}$表示的平面区域是一个三角形，则 $a$的取值范围是（　　）

如果正数 $a,b,c,d$满足 $a+b=cd=4$,那么（）

对于函数① $f\left(x\right)=lg(\left|x-2\right|+1)$，② $f\left(x\right)=(x-2{)}^2$，③ $f\left(x\right)=\cos (x+2)$，判断如下三个命题的真假：
命题甲： $f(x+2)$是偶函数；
命题乙： $f\left(x\right)$在 $(-\infty ,2)$上是减函数，在 $(2,+\infty )$上是增函数；
命题丙： $f(x+2)-f\left(x\right)$在 $(-\infty ,+\infty )$上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　　）

$\frac{2}{{\left(1+i\right)}^2}=$．

若数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n=n^2-10n\left(n=1,2,3,\dots \right)$，则此数列的通项公式为；数列 $\left\{n{a}_n\right\}$中数值最小的项是第项．

在 $△ABC$中，若 $\tan A=\frac{1}{3},C={150}^{°},BC=1$，则 $AB=$．

已知集合 $A=\{\overline{)x}\left|x-a\right|\le 1\}$， $B=\{\overline{)x}{x}^2-5x+4\ge 0\}$．若 $A\cap B\ne \varnothing$，则实数 $a$的取值范围是．

2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 $\theta$ ，那么 $\cos 2\theta$ 的值等于  ．

已知函数 $f\left(x\right)$ ， $g\left(x\right)$ 分别由下表给出

则 $f\left[g\right(1\left)\right]$ 的值为 ；满足 $f\left[g\right(x\left)\right]>g\left[f\right(x\left)\right]$ 的 $x$ 的值是 ．

数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1=2,a_{n+1}=a_n+cn$（ $c$是常数， $n=1,2,3...$），且 $a_1,a_2,a_3$成公比不为1的等比数列．
（I）求 $c$的值；
（II）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式．

如图，在 $Rt∆AOB$ 中， $\angle AOB=\frac{\pi }{6}$ ，斜边 $AB=4$ ． $Rt∆AOC$ 可以通过 $Rt∆AOB$ 以直线 $AO$ 为轴旋转得到，且二面角 $B-AO-C$ 是直二面角．动点 $D$ 的斜边 $AB$ 上．
（I）求证：平面 $COD\perp$ 平面 $AOB$ ；
（II）当 $D$ 为 $AB$ 的中点时，求异面直线 $AO$ 与 $CD$ 所成角的大小；
（III）求 $CD$ 与平面 $AOB$ 所成角的最大值．

矩形 $ABCD$的两条对角线相交于点 $M(2,0)$， $AB$边所在直线的方程为 $x-3y-6=0$，点 $T(-1,1)$在 $AD$边所在直线上．
（I）求 $AD$边所在直线的方程；
（II）求矩形 $ABCD$外接圆的方程；
（III）若动圆 $P$过点 $N(-2,0)$，且与矩形 $ABCD$的外接圆外切，求动圆 $P$的圆心的轨迹方程．

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（III）从合唱团中任选两名学生，用 $\xi$ 表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E\xi$ ．

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 $2r$ ，短半轴长为 $r$ ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 $AB$ 是半椭圆的短轴，上底 $CD$ 的端点在椭圆上，记 $CD=2x$ ，梯形面积为 $S$ ．

（I）求面积 $S$ 以 $x$ 为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积 $S$ 的最大值．

已知集合 $A=\left\{a_1,a_2,\dots ,a_k\right\}\left(k\ge 2\right)$，其中 $a_i\in Z\left(i=1,2,\dots ,k\right)$，由 $A$中的元素构成两个相应的集合： $S=\left\{\overline{)\left(a,b\right)}a\in A,b\in A,a+b\in A\right\}$， $T=\left\{\overline{)\left(a,b\right)}a\in A,b\in A,a-b\in A\right\}$．其中是有序数对，集合 $S$和 $T$中的元素个数分别为 $m$和 $n$．若对于任意的 $a\in A$，总有 $-a\notin A$，则称集合 $A$具有性质 $P$．
（I）检验集合 $\left\{0,1,2,3\right\}$与 $\left\{-1,2,3\right\}$是否具有性质 $P$并对其中具有性质 $P$的集合，写出相应的集合 $S$和 $T$；
（II）对任何具有性质 $P$的集合 $A$，证明： $n\le \frac{k\left(k-1\right)}{2}$；
（III）判断 $m$和 $n$的大小关系，并证明你的结论．