初中数学反比例函数综合题解答题

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m\ne 0,x>0)$图象的两个交点分别为 $A(4,\frac{1}{2})$， $B(1,2)$， $\mathit{AC}\perp x$轴于点 $C$， $\mathit{BD}\perp y$轴于点 $D$．

（1）根据图象直接回答：在第一象限内，当 $x$取何值时，一次函数值大于反比例函数值？

（2）求一次函数的解析式及 $m$的值；

（3） $P$是线段 $\mathit{AB}$上的一点，连接 $\mathit{PC}$， $\mathit{PD}$，若 $\mathit{\Delta PCA}$和 $\mathit{\Delta PDB}$的面积相等，求点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，函数 $y=\frac{m}{x}(m$为常数， $m>1$， $x>0)$的图象经过点 $P(m,1)$和 $Q(1,m)$，直线 $\mathit{PQ}$与 $x$轴， $y$轴分别交于 $C$， $D$两点，点 $M(x,y)$是该函数图象上的一个动点，过点 $M$分别作 $x$轴和 $y$轴的垂线，垂足分别为 $A$， $B$．

（1）求 $\angle \mathit{OCD}$的度数；

（2）当 $m=3$， $1<x<3$时，存在点 $M$使得 $\mathit{\Delta OPM}\backsim \mathit{\Delta OCP}$，求此时点 $M$的坐标；

（3）当 $m=5$时，矩形 $\mathit{OAMB}$与 $\mathit{\Delta OPQ}$的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．

如图，已知 $A(-4,n)$， $B(2,-4)$是一次函数 $y=\mathit{kx}+b$和反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象的两个交点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）观察图象，直接写出方程 $\mathit{kx}+b-\frac{m}{x}=0$的解；

（3）求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积；

（4）观察图象，直接写出不等式 $\mathit{kx}+b-\frac{m}{x}<0$的解集．

如图，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数 $y=x+b$的图象交于 $A$， $B$两点，点 $A$和点 $B$的横坐标分别为1和 $-2$，这两点的纵坐标之和为1．

（1）求反比例函数的表达式与一次函数的表达式；

（2）当点 $C$的坐标为 $(0,-1)$时，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图，已知平行四边形 $\mathit{OABC}$中，点 $O$为坐标原点，点 $A(3,0)$， $C(1,2)$，函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象经过点 $C$．

（1）求 $k$的值及直线 $\mathit{OB}$的函数表达式：

（2）求四边形 $\mathit{OABC}$的周长．

已知一次函数y＝k₁x+b与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的图象交于第一象限内的P（ $\frac{1}{2}$，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．

（1）分别求出这两个函数的表达式；

（2）写出点P关于原点的对称点P'的坐标；

（3）求∠P'AO的正弦值．

如图，一次函数 y＝ k ₁ x+ b的图象与反比例函数 y＝ $\frac{k_2}{x}$ 的图象相交于 A、 B两点，其中点 A的坐标为（﹣1，4），点 B的坐标为（4， n）．

（1）根据图象，直接写出满足 k ₁ x+ b＞ $\frac{k_2}{x}$ 的 x的取值范围；

（2）求这两个函数的表达式；

（3）点 P在线段 AB上，且 S _{△ AOP}： S _{△ BOP}＝1：2，求点 P的坐标．

如图，在平面直角坐标系 xOy中，菱形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点 P（﹣1，2）， AB⊥ x轴于点 E，正比例函数 y＝ mx的图象与反比例函数 y＝ $\frac{n-3}{x}$ 的图象相交于 A， P两点．

（1）求 m， n的值与点 A的坐标；

（2）求证：△ CPD∽△ AEO；

（3）求sin∠ CDB的值．

设 P（ x，0）是 x轴上的一个动点，它与原点的距离为 y ₁．

（1）求 y ₁关于 x的函数解析式，并画出这个函数的图象；

（2）若反比例函数 y ₂＝ $\frac{k}{x}$ 的图象与函数 y ₁的图象相交于点 A，且点 A的纵坐标为2．

①求 k的值；

②结合图象，当 y ₁＞ y ₂时，写出 x的取值范围．

教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温 y（℃）与开机后用时 x（ min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温 y（℃）与时间 x（ min）的关系如图所示：

（1）分别写出水温上升和下降阶段 y与 x之间的函数关系式；

（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？

已知变量 x、 y对应关系如下表已知值呈现的对应规律．

x	…	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1	1	2	3	4	…
y	…	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	1	2	﹣2	﹣1	﹣ $\frac{2}{3}$	﹣ $\frac{1}{2}$	…

（1）依据表中给出的对应关系写出函数解析式，并在给出的坐标系中画出大致图象；

（2）在这个函数图象上有一点 P（ x， y）（ x＜0），过点 P分别作 x轴和 y轴的垂线，并延长与直线 y＝ x﹣2交于 A、 B两点，若△ PAB的面积等于 $\frac{25}{2}$ ，求出 P点坐标．

如图，直线 y＝﹣ x+2与反比例函数 y＝ $\frac{k}{x}$ （ k≠0）的图象交于 A（ a，3）， B（3， b）两点，过点 A作 AC⊥ x轴于点 C，过点 B作 BD⊥ x轴于点 D．

（1）求 a， b的值及反比例函数的解析式；

（2）若点 P在直线 y＝﹣ x+2上，且 S _{△ ACP}＝ S _{△ BDP}，请求出此时点 P的坐标；

（3）在 x轴正半轴上是否存在点 M，使得△ MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出 M点的坐标；若不存在，说明理由．

已知反比例函数 y＝ $\frac{-k^2-1}{x}$ （ k为常数）．

（1）若点 P ₁（ $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$ ， y ₁）和点 P ₂（﹣ $\frac{1}{2}$ ， y ₂）是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较 y ₁和 y ₂的大小；

（2）设点 P（ m， n）（ m＞0）是其图象上的一点，过点 P作 PM⊥ x轴于点 M．若tan∠ POM＝2， PO＝ $\sqrt{5}$ （ O为坐标原点），求 k的值，并直接写出不等式 kx+ $\frac{k^2+1}{x}$ ＞0的解集．

如图，一次函数 y＝﹣ $\frac{\sqrt{\text{3}}}{\text{3}}$x+1的图象与 x轴、 y轴分别交于点 A、 B，以线段 AB为边在第一象限作等边△ ABC．

（1）若点 C在反比例函数 y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象上，求该反比例函数的解析式；

（2）点 P（2 $\sqrt{3}$ ， m）在第一象限，过点 P作 x轴的垂线，垂足为 D，当△ PAD与△ OAB相似时， P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出 P点坐标；如果不在，请加以说明．

如图，反比例函数y＝ $\frac{k_1}{x}$与一次函数y＝k₂x+b的图象交于A（2，4），B（﹣4，m）两点．

（1）求k₁，k₂，b的值；

（2）求△AOB的面积；

（3）若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是反比例函数y＝ $\frac{k_1}{x}$的图象上的两点，且x₁＜x₂，y₁＜y₂，指出点M、N各位于哪个象限．