初中数学反比例函数综合题解答题

如图，直线 $y=\mathit{ax}+2$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$，与 $y$轴交于点 $B(0,b)$．将线段 $\mathit{AB}$先向右平移1个单位长度、再向上平移 $t(t>0)$个单位长度，得到对应线段 $\mathit{CD}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象恰好经过 $C$、 $D$两点，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$．

（1）求 $a$和 $b$的值；

（2）求反比例函数的表达式及四边形 $\mathit{ABDC}$的面积；

（3）点 $N$在 $x$轴正半轴上，点 $M$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上的一个点，若 $\mathit{\Delta CMN}$是以 $\mathit{CM}$为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点 $M$的坐标．

如图，在直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AC}$在 $x$轴上， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=1$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象经过 $\mathit{BC}$边的中点 $D(3,1)$．

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta EFG}$成中心对称，且 $\mathit{\Delta EFG}$的边 $\mathit{FG}$在 $y$轴的正半轴上，点 $E$在这个函数的图象上．

①求 $\mathit{OF}$的长；

②连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{BE}$，证明四边形 $\mathit{ABEF}$是正方形．

定义：点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$内部或边上的点（顶点除外），在 $\mathit{\Delta PAB}$， $\mathit{\Delta PBC}$， $\mathit{\Delta PCA}$中，若至少有一个三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，则称点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$的自相似点．

例如：如图1，点 $P$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部， $\angle \mathit{PBC}=\angle A$， $\angle \mathit{BCP}=\angle \mathit{ABC}$，则 $\mathit{\Delta BCP}\backsim \mathit{\Delta ABC}$，故点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点 $M$是曲线 $y=\frac{3\sqrt{3}}{x}(x>0)$上的任意一点，点 $N$是 $x$轴正半轴上的任意一点．

（1）如图2，点 $P$是 $\mathit{OM}$上一点， $\angle \mathit{ONP}=\angle M$，试说明点 $P$是 $\mathit{\Delta MON}$的自相似点；当点 $M$的坐标是 $(\sqrt{3}$， $3)$，点 $N$的坐标是 $(\sqrt{3}$， $0)$时，求点 $P$的坐标；

（2）如图3，当点 $M$的坐标是 $(3,\sqrt{3})$，点 $N$的坐标是 $(2,0)$时，求 $\mathit{\Delta MON}$的自相似点的坐标；

（3）是否存在点 $M$和点 $N$，使 $\mathit{\Delta MON}$无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1， $▱\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$在 $y$轴的正半轴上， $\mathit{OC}=3$， $A(2,1)$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过的 $B$．

（1）求点 $B$的坐标和反比例函数的关系式；

（2）如图2，直线 $\mathit{MN}$分别与 $x$轴、 $y$轴的正半轴交于 $M$， $N$两点，若点 $O$和点 $B$关于直线 $\mathit{MN}$成轴对称，求线段 $\mathit{ON}$的长；

（3）如图3，将线段 $\mathit{OA}$延长交 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象于点 $D$，过 $B$， $D$的直线分别交 $x$轴、 $y$轴于 $E$， $F$两点，请探究线段 $\mathit{ED}$与 $\mathit{BF}$的数量关系，并说明理由．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形，点 $A$在第四象限 $y_1=-\frac{2}{x}$的图象上，点 $B$在第一象限 $y_2=\frac{k}{x}$的图象上， $\mathit{AB}$交 $x$轴于点 $E$，点 $C$与点 $D$在 $y$轴上， $\mathit{AD}=\frac{3}{2}$， $S_{\mathit{矩形OCBE}}=\frac{3}{2}{S}_{\mathit{矩形ODAE}}$．

（1）求点 $B$的坐标．

（2）若点 $P$在 $x$轴上， $S_{\mathit{\Delta BPE}}=3$，求直线 $\mathit{BP}$的解析式．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$， $B$两点，与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的图象分别交于 $C$， $D$两点，点 $C(2,4)$，点 $B$是线段 $\mathit{AC}$的中点．

（1）求一次函数 $y=k_{1}x+b$与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta COD}$的面积；

（3）直接写出当 $x$取什么值时， $k_{1}x+b<\frac{k_2}{x}$．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\mathit{mx}+n(m\ne 0)$的图象与 $y$轴交于点 $C$，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象交于 $A$， $B$两点，点 $A$在第一象限，纵坐标为4，点 $B$在第三象限， $\mathit{BM}\perp x$轴，垂足为点 $M$， $\mathit{BM}=\mathit{OM}=2$．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式．

（2）连接 $\mathit{OB}$， $\mathit{MC}$，求四边形 $\mathit{MBOC}$的面积．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\mathit{mx}+n(m\ne 0)$的图象与 $y$轴交于点 $C$，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象交于 $A$， $B$两点，点 $A$在第一象限，纵坐标为4，点 $B$在第三象限， $\mathit{BM}\perp x$轴，垂足为点 $M$， $\mathit{BM}=\mathit{OM}=2$．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式．

（2）连接 $\mathit{OB}$， $\mathit{MC}$，求四边形 $\mathit{MBOC}$的面积．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A$在 $y$轴正半轴上，边 $\mathit{BC}$在 $x$轴上，且 $\mathit{BC}=5$， $\sin \angle \mathit{ABC}=\frac{4}{5}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象分别与 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$交于点 $M$、点 $N$，点 $N$的坐标是 $(3,n)$，连接 $\mathit{OM}$， $\mathit{MC}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求证： $\mathit{\Delta OMC}$是等腰三角形．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m\ne 0,x>0)$图象的两个交点分别为 $A(4,\frac{1}{2})$， $B(1,2)$， $\mathit{AC}\perp x$轴于点 $C$， $\mathit{BD}\perp y$轴于点 $D$．

（1）根据图象直接回答：在第一象限内，当 $x$取何值时，一次函数值大于反比例函数值？

（2）求一次函数的解析式及 $m$的值；

（3） $P$是线段 $\mathit{AB}$上的一点，连接 $\mathit{PC}$， $\mathit{PD}$，若 $\mathit{\Delta PCA}$和 $\mathit{\Delta PDB}$的面积相等，求点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，函数 $y=\frac{m}{x}(m$为常数， $m>1$， $x>0)$的图象经过点 $P(m,1)$和 $Q(1,m)$，直线 $\mathit{PQ}$与 $x$轴， $y$轴分别交于 $C$， $D$两点，点 $M(x,y)$是该函数图象上的一个动点，过点 $M$分别作 $x$轴和 $y$轴的垂线，垂足分别为 $A$， $B$．

（1）求 $\angle \mathit{OCD}$的度数；

（2）当 $m=3$， $1<x<3$时，存在点 $M$使得 $\mathit{\Delta OPM}\backsim \mathit{\Delta OCP}$，求此时点 $M$的坐标；

（3）当 $m=5$时，矩形 $\mathit{OAMB}$与 $\mathit{\Delta OPQ}$的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．

如图，已知 $A(-4,n)$， $B(2,-4)$是一次函数 $y=\mathit{kx}+b$和反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象的两个交点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）观察图象，直接写出方程 $\mathit{kx}+b-\frac{m}{x}=0$的解；

（3）求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积；

（4）观察图象，直接写出不等式 $\mathit{kx}+b-\frac{m}{x}<0$的解集．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $A$是反比例函数 $y=\frac{m^3-m^2}{x}(x>0,m>1)$图象上一点，点 $A$的横坐标为 $m$，点 $B(0,-m)$是 $y$轴负半轴上的一点，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}\perp \mathit{AB}$，交 $y$轴于点 $C$，延长 $\mathit{CA}$到点 $D$，使得 $\mathit{AD}=\mathit{AC}$，过点 $A$作 $\mathit{AE}$平行于 $x$轴，过点 $D$作 $y$轴平行线交 $\mathit{AE}$于点 $E$．

（1）当 $m=3$时，求点 $A$的坐标；

（2） $\mathit{DE}=$　　，设点 $D$的坐标为 $(x,y)$，求 $y$关于 $x$的函数关系式和自变量的取值范围；

（3）连接 $\mathit{BD}$，过点 $A$作 $\mathit{BD}$的平行线，与（2）中的函数图象交于点 $F$，当 $m$为何值时，以 $A$、 $B$、 $D$、 $F$为顶点的四边形是平行四边形？

如图，一次函数 $y=k_{1}x+5(k_1<0)$的图象与坐标轴交于 $A$， $B$两点，与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2>0)$的图象交于 $M$， $N$两点，过点 $M$作 $\mathit{MC}\perp y$轴于点 $C$，已知 $\mathit{CM}=1$．

（1）求 $k_2-k_1$的值；

（2）若 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{AN}}=\frac{1}{4}$，求反比例函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，设点 $P$是 $x$轴（除原点 $O$外）上一点，将线段 $\mathit{CP}$绕点 $P$按顺时针或逆时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{PQ}$，当点 $P$滑动时，点 $Q$能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点 $Q$的坐标；如果不能，请说明理由．

已知：如图，直线 $y=\frac{1}{2}x+b$与 $x$轴负半轴交于点 $A$，与 $y$轴正半轴交于点 $B$，线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-7x-8=0$的一个根，请解答下列问题：

（1）求点 $B$坐标；

（2）双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$与直线 $\mathit{AB}$交于点 $C$，且 $\mathit{AC}=5\sqrt{5}$，求 $k$的值；

（3）在（2）的条件下，点 $E$在线段 $\mathit{AB}$上， $\mathit{AE}=\sqrt{5}$，直线 $l\perp y$轴，垂足为点 $P(0,7)$，点 $M$在直线 $l$上，坐标平面内是否存在点 $N$，使以 $C$、 $E$、 $M$、 $N$为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．