初中数学角平分线的性质解答题

如图，点 $M$和点 $N$在 $\angle \mathit{AOB}$内部．

（1）请你作出点 $P$，使点 $P$到点 $M$和点 $N$的距离相等，且到 $\angle \mathit{AOB}$两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请说明作图理由．

如图，在钝角 $\mathit{\Delta ABC}$中，过钝角顶点 $B$作 $\mathit{BD}\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$．请用尺规作图法在 $\mathit{BC}$边上求作一点 $P$，使得点 $P$到 $\mathit{AC}$的距离等于 $\mathit{BP}$的长．（保留作图痕迹，不写作法）

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}$是 $\mathit{BC}$边上的高．请用尺规作图法在高 $\mathit{AD}$上求作一点 $P$，使得点 $P$到 $\mathit{AB}$的距离等于 $\mathit{PD}$的长．（保留作图痕迹，不写作法）

在图1，2，3中，已知 $▱\mathit{ABCD}$， $\angle \mathit{ABC}=120°$，点 $E$为线段 $\mathit{BC}$上的动点，连接 $\mathit{AE}$，以 $\mathit{AE}$为边向上作菱形 $\mathit{AEFG}$，且 $\angle \mathit{EAG}=120°$．

（1）如图1，当点 $E$与点 $B$重合时， $\angle \mathit{CEF}=$　　 $°$；

（2）如图2，连接 $\mathit{AF}$．

①填空： $\angle \mathit{FAD}$　　 $\angle \mathit{EAB}$（填“ $>$”，“ $<$ “，“ $=$” $)$；

②求证：点 $F$在 $\angle \mathit{ABC}$的平分线上；

（3）如图3，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{DG}$，并延长 $\mathit{DG}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $H$，当四边形 $\mathit{AEGH}$是平行四边形时，求 $\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AB}}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AC}$边于点 $D$，过点 $C$作 $\mathit{CF}//\mathit{AB}$，与过点 $B$的切线交于点 $F$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{BF}$；

（2）若 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{CD}=4$，求 $\mathit{BC}$的长．

感知：如图1， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$． $\angle B+\angle C=180°$， $\angle B=90°$，易知： $\mathit{DB}=\mathit{DC}$．

探究：如图2， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$， $\angle \mathit{ABD}+\angle \mathit{ACD}=180°$， $\angle \mathit{ABD}<90°$，求证： $\mathit{DB}=\mathit{DC}$．

应用：如图3，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B=45°$， $\angle C=135°$， $\mathit{DB}=\mathit{DC}=a$，则 $\mathit{AB}-\mathit{AC}=$　 $\sqrt{2}a$　（用含 $a$的代数式表示）

如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．

（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC=8，CD=5，则CE= ．

如图，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交∠A的平分线于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G．求证：BF=CG．

如图，已知△ABC，用直尺（没有刻度）和圆规在平面上求作一个点P，使P到∠A两边的距离相等，且PA=PB．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．
（2）在所画图中，线段OE与CD之间有怎样的数量关系，线段DF与CF之间有怎样的数量关系，并说明理由．

如图所示，要在公园（四边形ABCD）中建造一座音乐喷泉，喷泉位置应符合如下要求：

（1）到公园两个出入口A、C的距离相等；
（2）到公园两边围墙AB、AD的距离相等．
请你用尺规作图的方法确定喷泉的位置P．（不必写作法，但要保留作图痕迹）

作图题：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树．如图，要求黄桷树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．

（年云南省）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．

（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长．

如图，已知在△ABC中，∠A=90°，

（1）请用圆规和直尺作出⊙P,使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．

（本小题5分）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦，且圆心P到∠AOB两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）。