感知：如图1，$\mathit{AD}$平分$\angle \mathit{BAC}$．$\angle B+\angle C=180°$，$\angle B=90°$，易知：$\mathit{DB}=\mathit{DC}$．

探究：如图2，$\mathit{AD}$平分$\angle \mathit{BAC}$，$\angle \mathit{ABD}+\angle \mathit{ACD}=180°$，$\angle \mathit{ABD}<90°$，求证：$\mathit{DB}=\mathit{DC}$．

应用：如图3，四边形$\mathit{ABCD}$中，$\angle B=45°$，$\angle C=135°$，$\mathit{DB}=\mathit{DC}=a$，则$\mathit{AB}-\mathit{AC}=$　$\sqrt{2}a$　（用含$a$的代数式表示）