初中数学等腰三角形的判定试题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{AD}$上的一个动点，连接 $\mathit{BE}$，作点 $A$关于 $\mathit{BE}$的对称点 $F$，且点 $F$落在矩形 $\mathit{ABCD}$的内部，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{BF}$， $\mathit{EF}$，过点 $F$作 $\mathit{GF}\perp \mathit{AF}$交 $\mathit{AD}$于点 $G$，设 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AE}}=n$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{GE}$；

（2）当点 $F$落在 $\mathit{AC}$上时，用含 $n$的代数式表示 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}$的值；

（3）若 $\mathit{AD}=4\mathit{AB}$，且以点 $F$， $C$， $G$为顶点的三角形是直角三角形，求 $n$的值．

有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象性质．

小明根据学习函数的经验，对函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}$，当 $k>0$时的图象性质进行了探究．

下面是小明的探究过程：

（1）如图所示，设函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}$图象的交点为 $A$， $B$，已知 $A$点的坐标为 $(-k,-1)$，则 $B$点的坐标为　　；

（2）若点 $P$为第一象限内双曲线上不同于点 $B$的任意一点．

①设直线 $\mathit{PA}$交 $x$轴于点 $M$，直线 $\mathit{PB}$交 $x$轴于点 $N$．求证： $\mathit{PM}=\mathit{PN}$．

证明过程如下：设 $P(m,\frac{k}{m})$，直线 $\mathit{PA}$的解析式为 $y=\mathit{ax}+b(a\ne 0)$．

则 $\left\{\begin{array}{c}-\mathit{ka}+b=-1\\ \mathit{ma}+b=\frac{k}{m}\end{array}\right.$，

解得 $\left\{\begin{array}{c}a=\\ b=\end{array}\right.$　　

$\therefore$直线 $\mathit{PA}$的解析式为　　

请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．

②当 $P$点坐标为 $(1$， $k\left)\right(k\ne 1)$时，判断 $\mathit{\Delta PAB}$的形状，并用 $k$表示出 $\mathit{\Delta PAB}$的面积．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $C$出发以 $1\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{CA}$匀速运动，同时动点 $Q$从点 $A$出发以 $\sqrt{2}\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{AB}$匀速运动，当点 $P$到达点 $A$时，点 $P$、 $Q$同时停止运动，设运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）当 $t$为何值时，点 $B$在线段 $\mathit{PQ}$的垂直平分线上？

（2）是否存在某一时刻 $t$，使 $\mathit{\Delta APQ}$是以 $\mathit{PQ}$为腰的等腰三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（3）以 $\mathit{PC}$为边，往 $\mathit{CB}$方向作正方形 $\mathit{CPMN}$，设四边形 $\mathit{QNCP}$的面积为 $S$，求 $S$关于 $t$的函数关系式．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+6\mathit{ax}(a$为常数， $a>0)$与 $x$轴交于 $O$， $A$两点，点 $B$为抛物线的顶点，点 $D$的坐标为 $(t$， $0\left)\right(-3<t<0)$，连接 $\mathit{BD}$并延长与过 $O$， $A$， $B$三点的 $\odot P$相交于点 $C$．

（1）求点 $A$的坐标；

（2）过点 $C$作 $\odot P$的切线 $\mathit{CE}$交 $x$轴于点 $E$．

①如图1，求证： $\mathit{CE}=\mathit{DE}$；

②如图2，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{BO}$，当 $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$， $\angle \mathit{CAE}=\angle \mathit{OBE}$时，求 $\frac{1}{\mathit{OD}}-\frac{1}{\mathit{OE}}$的值．

抛物线 $y=-\frac{\sqrt{6}}{6}{x}^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{6}$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左边），与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$是该抛物线的顶点．

（1）如图1，连接 $\mathit{CD}$，求线段 $\mathit{CD}$的长；

（2）如图2，点 $P$是直线 $\mathit{AC}$上方抛物线上一点， $\mathit{PF}\perp x$轴于点 $F$， $\mathit{PF}$与线段 $\mathit{AC}$交于点 $E$；将线段 $\mathit{OB}$沿 $x$轴左右平移，线段 $\mathit{OB}$的对应线段是 $O_1{B}_1$，当 $\mathit{PE}+\frac{1}{2}\mathit{EC}$的值最大时，求四边形 $P{O}_1{B}_{1}C$周长的最小值，并求出对应的点 $O_1$的坐标；

（3）如图3，点 $H$是线段 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{CH}$，将 $\mathit{\Delta OBC}$沿直线 $\mathit{CH}$翻折至△ $O_2{B}_{2}C$的位置，再将△ $O_2{B}_{2}C$绕点 $B_2$旋转一周，在旋转过程中，点 $O_2$， $C$的对应点分别是点 $O_3$， $C_1$，直线 $O_3{C}_1$分别与直线 $\mathit{AC}$， $x$轴交于点 $M$， $N$．那么，在△ $O_2{B}_{2}C$的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使 $\mathit{\Delta AMN}$是以 $\mathit{MN}$为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段 $O_{2}M$的长；若不存在，请说明理由．