初中数学垂径定理解答题

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\mathit{AD}$与过 $C$点的直线互相垂直，垂足为 $D$， $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAB}$．

（1）求证： $\mathit{DC}$为 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{AD}=3$， $\mathit{DC}=\sqrt{3}$，求 $\odot O$的半径．

定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

（1）下面四边形是垂等四边形的是 　 　；（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

（2）图形判定：如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{BD}$ 垂线交 $\mathit{BC}$ 的延长线于点 $E$ ，且 $\angle \mathit{DBC}=45°$ ，证明：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是垂等四边形．

（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ 中， $\angle \mathit{BCD}=60°$ ．求 $\odot O$ 的半径．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}a$ ， $\angle \mathit{ABC}=60$ ，过点 $B$ 的 $\odot O$ 与边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 分别交于 $E$ ， $F$ 两点． $\mathit{OG}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $G$ ， $\mathit{OG}=a$ ．连接 $\mathit{OB}$ ， $\mathit{OE}$ ， $\mathit{OF}$ ．

（1）若 $\mathit{BF}=2a$ ，试判断 $\mathit{\Delta BOF}$ 的形状，并说明理由；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{BF}$ ，求证： $\odot O$ 与 $\mathit{AD}$ 相切于点 $A$ ．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $E$ ， $C$ 是 $\odot O$ 上两点，且 $\widehat{\mathit{EC}}=\widehat{\mathit{BC}}$ ，连接 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{AC}$ ．过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AE}$ 交 $\mathit{AE}$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）判定直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{CD}=\sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$为 $\odot O$上一点，点 $P$是半径 $\mathit{OB}$上一动点（不与 $O$， $B$重合），过点 $P$作射线 $l\perp \mathit{AB}$，分别交弦 $\mathit{BC}$， $\widehat{\mathit{BC}}$于 $D$， $E$两点，在射线 $l$上取点 $F$，使 $\mathit{FC}=\mathit{FD}$．

（1）求证： $\mathit{FC}$是 $\odot O$的切线；

（2）当点 $E$是 $\widehat{\mathit{BC}}$的中点时，

①若 $\angle \mathit{BAC}=60°$，判断以 $O$， $B$， $E$， $C$为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若 $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{3}{4}$，且 $\mathit{AB}=20$，求 $\mathit{DE}$的长．

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$是直径， $\mathit{BC}$是弦， $\mathit{BC}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{CD}$交 $\odot O$于点 $E$， $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{DBE}$．

（1）求证： $\mathit{BD}$是 $\odot O$的切线．

（2）过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$于 $F$，交 $\mathit{BC}$于 $G$，已知 $\mathit{DE}=2\sqrt{10}$， $\mathit{EG}=3$，求 $\mathit{BG}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle B=90°$， $\angle \mathit{BAC}$的平分线 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，点 $E$在 $\mathit{AC}$上，以 $\mathit{AE}$为直径的 $\odot O$经过点 $D$．

（1）求证：① $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

② $C{D}^2=\mathit{CE}·\mathit{CA}$；

（2）若点 $F$是劣弧 $\mathit{AD}$的中点，且 $\mathit{CE}=3$，试求阴影部分的面积．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$是 $\odot O$上一点， $D$是 $\widehat{\mathit{AC}}$的中点， $E$为 $\mathit{OD}$延长线上一点，且 $\angle \mathit{CAE}=2\angle C$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $H$，与 $\mathit{OE}$交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{AE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{DH}=9$， $\tan C=\frac{3}{4}$，求直径 $\mathit{AB}$的长．

如图， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PA}$切 $\odot O$于点 $A$， $\mathit{PB}$切 $\odot O$于点 $B$，且 $\angle \mathit{APB}=60°$．

（1）求 $\angle \mathit{BAC}$的度数；

（2）若 $\mathit{PA}=1$，求点 $O$到弦 $\mathit{AB}$的距离．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$是 $\odot O$的弦， $\mathit{OE}//\mathit{AC}$交 $\mathit{BC}$于 $E$，过点 $B$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{OE}$的延长线于点 $D$，连接 $\mathit{DC}$并延长交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}=30°$， $\mathit{AB}=8$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$为 $\widehat{\mathit{BD}}$的中点， $\mathit{CF}$为 $\odot O$的弦，且 $\mathit{CF}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$，连接 $\mathit{BD}$交 $\mathit{CF}$于点 $G$，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BFG}\cong \mathit{\Delta CDG}$；

（2）若 $\mathit{AD}=\mathit{BE}=2$，求 $\mathit{BF}$的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，点 $P$在 $\mathit{AB}$的延长线上，点 $C$在 $\odot O$上，且 $P{C}^2=\mathit{PB}·\mathit{PA}$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\mathit{PC}=20$， $\mathit{PB}=10$，点 $D$是 $\widehat{\mathit{AB}}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $E$， $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，求 $\mathit{EF}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $P$是 $\mathit{BA}$延长线上一点，过点 $P$作 $\odot O$的切线 $\mathit{PC}$，切点是 $C$，过点 $C$作弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于 $E$，连接 $\mathit{CO}$， $\mathit{CB}$．

（1）求证： $\mathit{PD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=10$， $\tan B=\frac{1}{2}$，求 $\mathit{PA}$的长；

（3）试探究线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{OE}$， $\mathit{OP}$之间的数量关系，并说明理由．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$为 $\odot O$上一点， $\mathit{OE}\perp \mathit{BC}$于点 $H$，交 $\odot O$于点 $E$，点 $D$为 $\mathit{OE}$的延长线上一点， $\mathit{DC}$的延长线与 $\mathit{BA}$的延长线交于点 $F$，且 $\angle \mathit{BOD}=\angle \mathit{BCD}$，连结 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{DF}$为 $\odot O$的切线；

（2）过 $E$作 $\mathit{EG}\perp \mathit{FD}$于点 $G$，求证： $\mathit{\Delta CHE}\cong \mathit{\Delta CGE}$；

（3）如果 $\mathit{AF}=1$， $\sin \angle \mathit{FCA}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，求 $\mathit{EG}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{ED}$切 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{AD}$交 $\odot O$于点 $F$， $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAD}$，连接 $\mathit{BF}$．

（1） 求证： $\mathit{AD}\perp \mathit{ED}$；

（2） 若 $\mathit{CD}=4$， $\mathit{AF}=2$，求 $\odot O$的半径 ．