初中数学试题

在如图所示的坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．

$\left(1,1\right),\left(2,0\right),\left(1,-1\right),\left(6,-1\right),\left(6,2\right),\left(5,3\right),\left(4,3\right),\left(3,2\right),\left(5,2\right),(5,0),\left(4,1\right),\left(1,1\right)$，观察图形，你觉得它像什么?

（1）若以上的点的纵坐标不变，将横坐标分别加 $3$，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化?

（2）若以上点的横坐标不变，纵坐标分别减 $2$，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化?

在如图所示平面直角坐标系中，多边形 $\mathit{ABCDEF}$的各顶点的坐标分别是 $A\left(1,0\right),B\left(2,3\right),C\left(5,6\right),D\left(7,4\right),E\left(6,2\right),F\left(9,0\right)$，确定这个多边形的面积，你是怎样做的?

在平面直角坐标系中，已知 $P_1$的坐标 $\left(1,0\right)$，将其绕着原点按逆时针方向旋转 $30°$得到 $P_2$，延长 $O{P}_2$到 $P_3$使 $O{P}_3=2O{P}_2$，再将 $P_3$绕原点按逆时针方向旋转 $30°$得到 $P_4$，延长 $O{P}_4$到 $P_5$，使 $O{P}_5=2O{P}_4$，如此下去，则点 $P_{2010}$的坐标为＿＿＿＿＿．

在平面直角坐标系中，已知 $A\left(7,0\right),B\left(9,5\right),P$为坐标轴上一点，且 $S_{△\mathit{PAB}}=50$，那么点 $P$的坐标为＿＿＿＿＿．

若 $P\left(a,2020\right)$和 $Q\left(2019,b\right)$关于 $y$轴对称，则 ${(a+b)}^{2021}=$＿＿＿＿＿．

初三年级某班有 $54$名学生，所在教室有 $6$行 $9$列座位，用 $\left(m,n\right)$表示第 $m$行第 $n$列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为 $\left(m,n\right)$，如果调整后的座位为 $\left(i,j\right)$，则称该生作了平移 $\left[a,b\right]=\left[m-i,n-j\right]$，并称 $a+b$为该生的位置数．若某生的位置数为 $10$，则当 $m+n$取最小值时， $m\cdot n$的最大值为＿＿＿＿＿．

已知 $P\left(2-a,3a+6\right)$到两坐标轴的距离相等，则 $P$点的坐标为＿＿＿＿＿．

如图，已知点 $A_1\left(1,0\right),A_2\left(1,1\right),A_3\left(-1,1\right),A_4\left(-1,-1\right)$， $A_5\left(2,-1\right),\cdots$则点 $A_{2021}$的坐标为＿＿＿＿＿．

在中国象棋盘中，棋子“马”的位置如图，若将“马”跳 $20$步（马跳“日”字），则最后一步“马”落在棋盘上的不同位置可能有（ ）

A．

$40$个

B．

$45$个

C．

$50$个

D．

$90$个

在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，如图所示的正方形内（包括边界）整点的个数为（ ）

A．

$13$

B．

$21$

C．

$17$

D．

$25$

正方形 $\mathit{ABCD}$在坐标系中的位置如图，将正方形 $\mathit{ABCD}$绕 $D$点顺时针旋转 ${90}^{\circ }$后， $B$点的坐标为（ ）

A．

$\left(-2,2\right)$

B．

$\left(4,1\right)$

C．

$\left(3,1\right)$

D．

$\left(4,0\right)$

一只跳蚤在第一象限及 $x$轴， $y$轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到 $\left(0,1\right)$，然后接着按图中箭头所示方向跳动 【即 $\left(0,0\right)\to \left(0,1\right)\to \left(1,1\right)\to \left(1,0\right)\to \cdots$】，且每秒跳动一个单位，那么第 $35\text{s}$时跳蚤所在位置的坐标是（ ）

A．

$\left(4,0\right)$

B．

$\left(5,0\right)$

C．

$\left(0,5\right)$

D．

$\left(5,5\right)$

在平面直角坐标系中 $A\left(1,1\right),B\left(-1,1\right),C\left(-1,-2\right),D\left(1,-2\right)$．把一条长为 $2017$个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点 $A$处，并按 $A-B-C-D-A\cdots \cdots$的规律绕在四边形 $\mathit{ABCD}$的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标为（ ）

A．

$\left(-1,0\right)$

B．

$\left(1,-2\right)$

C．

$\left(1,1\right)$

D．

$\left(-1,-1\right)$

若 $a$为整数，且点 $M\left(3a-9,2a-10\right)$在第四象限，则 $a^2+1$的值为（ ）

A．

$17$

B．

$16$

C．

$5$

D．

$4$

如左图，在平面直角坐标系中，点 $A\mathrm{，}B$的坐标分别为 $\left(-1\mathrm{，}0\right)，\left(3\mathrm{，}0\right)$，现同时将点 $A\mathrm{，}B$分别向上平移 $2$个单位，再向右平移 $1$个单位，分别得到点 $A\mathrm{，}B$的对应点 $C\mathrm{，}D$，连接 $\mathit{AC}\mathrm{，}\mathit{BD}$.

（1）求点 $C\mathrm{，}D$的坐标及四边形 $\mathit{ABCD}$的面积；

（2）在 $y$轴上是否存在一点 $P$，连接 $\mathit{PA}\mathrm{，}\mathit{PB}$，使 $S_{△\mathit{PAB}}=S_{\text{四边形}\mathit{ABCD}}$，若存在这样一点，求出点 $P$的坐标，若不存在，说明理由；

（3）如右图，点 $P$是线段 $\mathit{BD}$上的一动点，连接 $\mathit{PC}\mathrm{，}\mathit{PO}$，当点 $P$在 $\mathit{BD}$上移动时（不与 $B\mathrm{，}D$重合）给出下列结论：① $\frac{\angle \mathit{DCP}+\angle \mathit{BOP}}{\angle \mathit{CPO}}$的值不变；② $\frac{\angle \mathit{DCP}+\angle \mathit{CPO}}{\angle \mathit{BOP}}$的值不变.

其中有且只有一个是正确的，请你找出这个正确的结论并求其值.