初中数学试题

在 $\mathrm{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ }\mathrm{，}\angle \mathit{ABC}=\alpha$，点 $P$在 $△\mathit{ABC}$的内部.

（1）如图①， $\mathit{AB}=2\mathit{AC}\mathrm{，}\mathit{PB}=3$，点 $M\mathrm{，}N$分别在 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{BC}$边上，则 $\cos \alpha =\_\_\_\_\_\_\_\_\mathrm{，}△\mathit{PMN}$周长的最小值为________.

（2）如图②，若条件 $\mathit{AB}=2\mathit{AC}$不变，而 $\mathit{PA}=\sqrt{2}\mathrm{，}\mathit{PB}=\sqrt{10}\mathrm{，}\mathit{PC}=1$，求 $△\mathit{ABC}$的面积；

（3）若 $\mathit{PA}=m\mathrm{，}\mathit{PB}=n\mathrm{，}\mathit{PC}=k$，且 $k=m\cos \alpha =n\sin \alpha$，直接写出 $\angle \mathit{APB}$的度数.

如图，一架飞机由 $A$向 $B$沿水平直线方向飞行，在航线 $\mathit{AB}$的正下方有两个山头 $C\mathrm{，}D$.飞机在 $A$处时，测得山头 $D$恰好在飞机的正下方，山头 $C$在飞机前方，俯角为 ${30}^{\circ }$.飞机飞行了 $6\mathrm{km}$到 $B$处时，往后测得山头 $C\mathrm{，}D$的俯角分别为 ${60}^{\circ }$和 ${30}^{\circ }$.已知山头 $D$的海拔高度为 $1\mathrm{km}$，求山头 $C$的海拔高度.（精确到 $0.01\mathrm{km}$，已知 $\sqrt{3}\approx 1.732$）

南海诸岛自古以来都是中国的领土，4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，军委主席登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的48艘舰艇参加了阅兵仪式.如图， $A\mathrm{，}B$是两处海港，其中 $A$在 $B$东偏南 ${30}^{\circ }$方向 $30\sqrt{2}\mathrm{km}$处，辽宁号航母从海港 $A$出发，沿东偏北 ${45}^{\circ }$方向，以 $15\mathrm{km}/\mathrm{h}$的速度匀速航行，两小时后，长沙舰从海港 $B$出发，沿东偏北 ${15}^{\circ }$的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅兵地点 $C$.

（1）长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多长时间?

（2）求长沙舰的航行速度（结果保留根号）.

如图， $D$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上一点，过点 $D$的切线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，过点 $B$作 $\mathit{BC}\perp \mathit{DE}$交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $C$，垂足为点 $F$.

（1）求证: $\mathit{AB}=\mathit{BC}$；

（2）若 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}$为 $9\mathrm{，}\sin A=\frac{1}{3}$.

①求线段 $\mathit{BF}$的长；

②求线段 $\mathit{BE}$的长.

某海域有一小岛 $P$，在以 $P$为圆心，半径 $r$为 $10\mathrm{（}3+\sqrt{3}\mathrm{）}$海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在 $A$处测得小岛 $P$位于北偏东 ${60}^{\circ }$的方向上，当海监船行驶 $20\sqrt{2}$海里后到达 $B$处，此时观测小岛 $P$位于 $B$处北偏东 ${45}^{\circ }$方向上.

（1）求 $A\mathrm{，}P$之间的距离 $\mathit{AP}$;

（2）若海监船由 $B$处继续向东航行是否有触礁危险?请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由 $B$处开始沿南偏东至多少度的方向航行能安全通过这一海域?

如图，已知电线杆 $\mathit{AB}$直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 $\mathit{CD}$和地面 $\mathit{BC}$上，如果 $\mathit{CD}$与地面成 ${45}^{\circ }$角， $\angle A={60}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{CD}=4\mathrm{m}\mathrm{，}\mathit{BC}=\mathrm{（}4\sqrt{6}-2\sqrt{2}\mathrm{）}\mathrm{m}$，则电线杆 $\mathit{AB}$的长为________ $\mathrm{m}$.

四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BD}$是对角线， $\angle \mathit{ABC}={90}^{\circ }\mathrm{，}\tan \angle \mathit{ABD}=\frac{3}{4}\mathrm{，}\mathit{AB}=20\mathrm{，}\mathit{BC}=10\mathrm{，}\mathit{AD}=13$，则线段 $\mathit{CD}=$＿＿＿＿＿.

如图，在边长为 $1$的小正方形网格中，点 $A\mathrm{，}B\mathrm{，}C\mathrm{，}D$都在这些小正方形的顶点上， $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{CD}$相交于点 $O$，则 $\tan \angle \mathit{AOD}=$＿＿＿＿＿.

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}\mathrm{，}\tan \angle \mathit{ACB}=2$，点 $D$在 $△\mathit{ABC}$内部，且 $\mathit{AD}=\mathit{CD}\mathrm{，}\angle \mathit{ADC}={90}^{\circ }$，连接 $\mathit{BD}$，若 $△\mathit{BCD}$的面积为 $10$，则 $\mathit{AD}$的长为＿＿＿＿＿.

已知 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=10\mathrm{，}\mathit{AC}=2\sqrt{7}\mathrm{，}\angle B={30}^{\circ }$，则 $△\mathit{ABC}$的面积等于＿＿＿＿＿.

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AC}=6\mathrm{，}\mathit{BC}=10\mathrm{，}\tan C=\frac{3}{4}$，点 $D$是 $\mathit{AC}$边上的动点（不与点 $C$重合），过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $E$，点 $F$是 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{EF}$，设 $\mathit{CD}=x\mathrm{，}△\mathit{DEF}$的面积为 $S$，则 $S$与 $x$之间的函数解析式为＿＿＿＿＿.

如图所示的网格是正方形网格， $\angle \mathit{BAC}$＿＿＿＿＿（选填 $\mathrm{}“>”“=”$或 $\mathrm{}“<”\mathrm{）}\angle \mathit{DAE}$.

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线相交于点 $O$，点 $E$在边 $\mathit{BC}$上，点 $F$在 $\mathit{CB}$的延长线上， $\angle \mathit{EAF}={45}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AE}$交 $\mathit{BD}$于点 $G\mathrm{，}\tan \angle \mathit{BAE}=\frac{1}{2}\mathrm{，}\mathit{BF}=2$，则 $\mathit{FG}=$＿＿＿＿＿.

在直角 $△\mathit{ABC}$中， $\angle B$为直角， $\angle A$的平分线 $AD$交 $BC$于点 $D\mathrm{，}\mathit{BC}$边中点为 $E$，且 $\mathit{BD}:\mathit{DE}:\mathit{EC}=1:2:3$，则 $\sin \angle \mathit{BAC}=$（ ）

A．

$\frac{2\sqrt{6}}{5}$

B．

$\frac{4\sqrt{3}}{9}$

C．

$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

D．

$\frac{12}{13}$

如图，某梯子长 $10\mathrm{m}$，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 $\alpha$时，梯子顶端靠在墙面上的点 $A$处，底端落在水平地面的点 $B$处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 $\beta$，已知 $\sin \alpha =\cos \beta =\frac{3}{5}$，则梯子顶端上升了（ ）

A．

$1\mathrm{m}$

B．

$1.5\mathrm{m}$

C．

$2\mathrm{m}$

D．

$\mathrm{}2.5\mathrm{m}$