初中数学解答题

在平面直角坐标系中，点 $O$是坐标原点，抛物线 $y＝a{x}^2+bx（a\ne 0）$经过点 $A（3，3）$，对称轴为直线 $x＝2$．

（1）求 $a，b$的值；

（2）已知点 $B，C$在抛物线上，点 $B$的横坐标为 $t$，点 $C$的横坐标为 $t+1$．过点 $B$作 $x$轴的垂线交直线 $OA$于点 $D$，过点 $C$作 $x$轴的垂线交直线 $OA$于点 $E$．

（i）当 $0＜t＜2$时，求 $△OBD$与 $△ACE$的面积之和；

（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点 $B$，使得以 $B，C，D，E$为顶点的四边形的面积为 $\frac{3}{2}$？若存在，请求出点 $B$的横坐标 $t$的值；若不存在，请说明理由．

在 $Rt△ABC$中， $M$是斜边 $AB$的中点，将线段 $MA$绕点 $M$旋转至 $MD$位置，点 $D$在直线 $AB$外，连接 $AD，BD$．

（1）如图1，求 $\angle ADB$的大小；

（2）已知点 $D$和边 $AC$上的点 $E$满足 $ME\perp AD，DE\parallel AB$．

（i）如图2，连接 $CD$，求证： $BD＝CD$；

（ii）如图3，连接 $BE$，若 $AC＝8，BC＝6$，求 $\tan \angle ABE$的值．

端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按 $10$分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于 $6$的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取 $10$名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：

八年级 $10$名学生活动成绩统计表

成绩/分	6	7	8	9	10
人数	1	2	a	b	2

已知八年级 $10$名学生活动成绩的中位数为 $8.5$分．

请根据以上信息，完成下列问题：

（1）样本中，七年级活动成绩为 $7$分的学生数是＿＿＿＿＿，七年级活动成绩的众数为 　＿＿＿＿＿分；

（2） $a＝$＿＿＿＿＿， $b＝$＿＿＿＿＿；

（3）若认定活动成绩不低于 $9$分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．

已知四边形 $ABCD$内接于 $\odot O$，对角线 $BD$是 $\odot O$的直径．

（1）如图1，连接 $OA，CA$，若 $OA\perp BD$，求证： $CA$平分 $\angle BCD$；

（2）如图2， $E$为 $\odot O$内一点，满足 $AE\perp BC，CE\perp AB$．若 $BD＝3\sqrt{3}$， $AE＝3$，求弦 $BC$的长．

如图， $O，R$是同一水平线上的两点，无人机从 $O$点竖直上升到 $A$点时，测得 $A$到 $R$点的距离为 $40m$， $R$点的俯角为 $24.2°$，无人机继续竖直上升到 $B$点，测得 $R$点的俯角为 $36.9°$．求无人机从 $A$点到 $B$点的上升高度 $AB$（精确到 $0.1m$）．

参考数据： $\sin 24.2°\approx 0.41，\cos 24.2°\approx 0.91，\tan 24.2°\approx 0.45，\sin 36.9°\approx 0.60，\cos 36.9°\approx 0.80，\tan 36.9°\approx 0.75$．

【观察思考】

【规律发现】

请用含 $n$的式子填空：

（1）第 $n$个图案中“◎”的个数为＿＿＿＿＿；

（2）第1个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{1\times 2}{2}$，第 $2$个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{2\times 3}{2}$，第 $3$个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{3\times 4}{2}$，第 $4$个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{4\times 5}{2}$，……，第 $n$个图案中“★”的个数可表示为＿＿＿＿＿．

【规律应用】

（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数 $n$，使得连续的正整数之和 $1+2+3+\dots \dots +n$等于第 $n$个图案中“◎”的个数的 $2$倍．

根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨 $10\%$，乙地降价 $5$元．已知销售单价调整前甲地比乙地少 $10$元，调整后甲地比乙地少 $1$元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．

先化简，再求值： $\frac{x^2+2x+1}{x+1}$，其中 $x＝\sqrt{2}-1$．

综合运用

如图1，在平面直角坐标系中，正方形 $OABC$的顶点 $A$在 $x$轴的正半轴上．如图2，将正方形 $OABC$绕点 $O$逆时针旋转，旋转角为 $\alpha （0°＜\alpha ＜45°）$， $AB$交直线 $y＝x$于点 $E$， $BC$交 $y$轴于点 $F$．

（1）当旋转角 $\angle COF$为多少度时， $OE＝OF$；（直接写出结果，不要求写解答过程）

（2）若点 $A（4，3）$，求 $FC$的长；

（3）如图3，对角线 $AC$交 $y$轴于点 $M$，交直线 $y＝x$于点 $N$，连接 $FN$．将 $△OFN$与 $△OCF$的面积分别记为 $S_1$与 $S_2$．设 $S＝S_1﹣S_2$， $AN＝n$，求 $S$关于 $n$的函数表达式．

综合探究

如图1，在矩形 $ABCD$中（ $AB＞AD$），对角线 $AC，BD$相交于点 $O$，点 $A$关于 $BD$的对称点为 $A\prime$．连接 $AA\prime$交 $BD$于点 $E$，连接 $CA\prime$．

（1）求证： $AA`\perp CA`$；

（2）以点 $O$为圆心， $OE$为半径作圆．

①如图2， $\odot O$与 $CD$相切，求证： $AA`=\sqrt{3}CA`$；

②如图3， $\odot O$与 $CA\prime$相切， $AD＝1$，求 $\odot O$的面积．

小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（ $5$个工作日）选择A线路，第二周（ $5$个工作日）选择 $B$线路，每天在固定时间段内乘车 $2$次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位： $min$）

数据统计表

实验序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A线路所用时间	15	32	15	16	34	18	21	14	35	20
B线路所用时间	25	29	23	25	27	26	31	28	30	24

根据以上信息解答下列问题：

	平均数	中位数	众数	方差
A线路所用时间	22	a	15	63.2
B线路所用时间	b	26.5	c	6.36

（1）填空：a＝＿＿＿＿＿；b＝＿＿＿＿＿；c＝＿＿＿＿＿；

（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．

综合与实践

主题：制作无盖正方体形纸盒．

素材：一张正方形纸板．

步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；

步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．

猜想与证明：（1）直接写出纸板上 $\angle ABC$与纸盒上 $\angle A_1{B}_1{C}_1$的大小关系；

（2）证明（1）中你发现的结论．

如图，在 $▱ABCD$中， $\angle DAB＝30°$．

（1）实践与操作：用尺规作图法过点 $D$作 $AB$边上的高 $DE$；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下， $AD＝4，AB＝6$，求 $BE$的长．

2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂 $AC＝BC＝10m$，两臂夹角 $\angle ACB＝100°$时，求 $A，B$两点间的距离．（结果精确到 $0.1m$，参考数据： $\sin 50°\approx 0.766，\cos 50°\approx 0.643，\tan 50°\approx 1.192$）

某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校 $12km$，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的 $1.2$倍，结果甲比乙早到 $10min$，求乙同学骑自行车的速度．