已知函数 $f\left(x\right)=\left(1+cotx\right){\sin }^{2}x-2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.
（1）若 $\tan \alpha =2$，求 $f\left(\alpha \right)$；
（2）若 $x\in \left[\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{2}\right]$，求 $f\left(x\right)$的取值范围.