曲线 $y=e^{2x}+1$在点 $\left(0,2\right)$处的切线与直线 $y=0$和 $y=x$围成的三角形的面积为（）

A．

$\frac{1}{3}$

B．

$\frac{1}{2}$

C．

$\frac{2}{3}$

D．

1