如图所示，己知三棱柱的侧棱与底面垂直，，MN分别是的中点，P点在上，且满足
(I)证明：
(II)当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求出该最大角的正切值；
(III)  在（II)条件下求P到平而AMN的距离.