如图。在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，M是BC中点。

（I）求证：A₁B∥平面AMC₁；
（II）求直线CC₁与平面AMC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）试问：在棱A₁B₁上是否存在点N，使AN与MC₁成角60°？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由。