已知椭圆的右焦点为 ，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且两焦点和短轴的两端构成边长为的正方形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在直线交与椭圆于， ，且使，使得为的垂心，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.