已知椭圆的右焦点，长轴的左、右端点分别为,且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过焦点斜率为（）的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.