设$n$是正整数，$r$为正有理数．
（1）求函数$f\left(x\right)={\left(1+x\right)}^{r+1}-\left(r+1\right)x-1\left(x>-1\right)$的最小值；
（2）证明：$\frac{n^{r+1}-{\left(n-1\right)}^{r+1}}{r+1}<n^r<\frac{{\left(n+1\right)}^{r+1}-n^{r+1}}{r+1}$；
（3）设$x\in R$，记$\left[x\right]$为不小于$x$的最小整数，例如$\left[2\right]=2,\left[\pi \right]=4,\left[-\frac{3}{2}\right]=-1$．令$S=\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{82}+\sqrt[3]{83}+\dots +\sqrt[3]{125}，求S$的值．
（参考数据：${80}^{\frac{4}{3}}\approx 344.7,{81}^{\frac{4}{3}}\approx 350.5，{124}^{\frac{4}{3}}\approx 618.3，{126}^{\frac{4}{3}}\approx 631.7$．