已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与曲线交于两个不同点，若直线不过点，设直线的斜率分别为，求的数值；
(3)试问：是否存在一个定圆，与以动点为圆心，以为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．