已知双曲线：的焦距为，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切.
（1）求双曲线的方程；
（2）设点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一直线与双曲线交于，两点，使得为定值？若存在，求出此定值及点的坐标；若不存在，请说明理由.