已知函数,
（Ⅰ）若在上的最大值为，求实数b的值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，都有 恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．