已知椭圆的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过定点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，试问在轴上是否存在一个定点使得始终平分？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．