已知函数 $f\left(x\right)$满足下列关系式：（i）对于任意的 $x,y\in R$，恒有 $2f\left(x\right)f\left(y\right)=f(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x+y)-f(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x-y）$；（ii） $f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=1$．

求证：
（1） $f\left(0\right)$=0；
（2） $f\left(x\right)$为奇函数；
（3） $f\left(x\right)$是以 $2\pi$为周期的周期函数．