初中数学二次函数的应用解答题

对于三个数 $a$， $b$， $c$，用 $M\{a$， $b$， $c\}$表示这三个数的中位数，用 $\mathit{max}\{a$， $b$， $c\}$表示这三个数中最大数，例如： $M\{-2$， $-1$， $0\}=-1$， $\mathit{max}\{-2$， $-1$， $0\}=0$， $\mathit{max}\{-2$， $-1$， $a\}=\left\{\begin{array}{c}a(a⩾-1)\\ -1(a<-1)\end{array}\right.$

解决问题：

（1）填空： $M\{\sin 45°$， $\cos 60°$， $\tan 60°\}=$　　，如果 $\mathit{max}\{3$， $5-3x$， $2x-6\}=3$，则 $x$的取值范围为　　；

（2）如果 $2·M\{2$， $x+2$， $x+4\}=\mathit{max}\{2$， $x+2$， $x+4\}$，求 $x$的值；

（3）如果 $M\{9$， $x^2$， $3x-2\}=\mathit{max}\{9$， $x^2$， $3x-2\}$，求 $x$的值．

传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第 $x$天生产的粽子数量为 $y$只， $y$与 $x$满足如下关系：

$y=\left\{\begin{array}{c}34x(0⩽x⩽6)\\ 20x+80(6<x⩽20)\end{array}\right.$

（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？

（2）如图，设第 $x$天生产的每只粽子的成本是 $p$元， $p$与 $x$之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第 $x$天创造的利润为 $w$元，求 $w$与 $x$之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润 $=$出厂价 $-$成本）

结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长 $80m$，宽 $60m$的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于 $36m$，不大于 $44m$，预计活动区造价60元 $/m^2$，绿化区造价50元 $/m^2$，设绿化区域较长直角边为 $\mathit{xm}$．

（1）用含 $x$的代数式表示出口的宽度；

（2）求工程总造价 $y$与 $x$的函数关系式，并直接写出 $x$的取值范围；

（3）如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出 $x$为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．

（4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化 $11m^2$，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少 $m^2$．

“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的 $50\%$标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．

（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？

（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{MN}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $M(6,0)$， $N(0$， $2\sqrt{3})$，等边 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$与原点 $O$重合， $\mathit{BC}$边落在 $x$轴正半轴上，点 $A$恰好落在线段 $\mathit{MN}$上，将等边 $\mathit{\Delta ABC}$从图1的位置沿 $x$轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$分别与线段 $\mathit{MN}$交于点 $E$， $F$（如图2所示），设 $\mathit{\Delta ABC}$平移的时间为 $t\left(s\right)$．

（1）等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为　　；

（2）在运动过程中，当 $t=$　　时， $\mathit{MN}$垂直平分 $\mathit{AB}$；

（3）若在 $\mathit{\Delta ABC}$开始平移的同时．点 $P$从 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线 $\mathit{BA}-\mathit{AC}$运动．当点 $P$运动到 $C$时即停止运动． $\mathit{\Delta ABC}$也随之停止平移．

①当点 $P$在线段 $\mathit{BA}$上运动时，若 $\mathit{\Delta PEF}$与 $\mathit{\Delta MNO}$相似．求 $t$的值；

②当点 $P$在线段 $\mathit{AC}$上运动时，设 $S_{\mathit{\Delta PEF}}=S$，求 $S$与 $t$的函数关系式，并求出 $S$的最大值及此时点 $P$的坐标．

为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量 $y$（万件）与销售单价 $x$（元 $)$之间的函数关系如图所示．

（1）求该网店每月利润 $w$（万元）与销售单价 $x$（元 $)$之间的函数表达式；

（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？

正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $O$是 $\mathit{BC}$边上的一个动点（与 $B$， $C$不重合），以 $O$为顶点在 $\mathit{BC}$所在直线的上方作 $\angle \mathit{MON}=90°$．

（1）当 $\mathit{OM}$经过点 $A$时，

①请直接填空： $\mathit{ON}$　    　（可能，不可能）过 $D$点；（图1仅供分析）

②如图2，在 $\mathit{ON}$上截取 $\mathit{OE}=\mathit{OA}$，过 $E$点作 $\mathit{EF}$垂直于直线 $\mathit{BC}$，垂足为点 $F$，作 $\mathit{EH}\perp \mathit{CD}$于 $H$，求证：四边形 $\mathit{EFCH}$为正方形．

（2）当 $\mathit{OM}$不过点 $A$时，设 $\mathit{OM}$交边 $\mathit{AB}$于 $G$，且 $\mathit{OG}=1$．在 $\mathit{ON}$上存在点 $P$，过 $P$点作 $\mathit{PK}$垂直于直线 $\mathit{BC}$，垂足为点 $K$，使得 $S_{\mathit{\Delta PKO}}=4S_{\mathit{\Delta OBG}}$，连接 $\mathit{GP}$，求四边形 $\mathit{PKBG}$的最大面积．

如图，已知边长为10的正方形 $\mathit{ABCD}$， $E$是 $\mathit{BC}$边上一动点（与 $B$、 $C$不重合），连结 $\mathit{AE}$， $G$是 $\mathit{BC}$延长线上的点，过点 $E$作 $\mathit{AE}$的垂线交 $\angle \mathit{DCG}$的角平分线于点 $F$，若 $\mathit{FG}\perp \mathit{BG}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\backsim \mathit{\Delta EGF}$；

（2）若 $\mathit{EC}=2$，求 $\mathit{\Delta CEF}$的面积；

（3）请直接写出 $\mathit{EC}$为何值时， $\mathit{\Delta CEF}$的面积最大．

新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买 $A$、 $B$两种花苗．据了解，购买 $A$种花苗3盆， $B$种花苗5盆，则需210元；购买 $A$种花苗4盆， $B$种花苗10盆，则需380元．

（1）求 $A$、 $B$两种花苗的单价分别是多少元？

（2）经九年级一班班委会商定，决定购买 $A$、 $B$两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆 $B$种花苗， $B$种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？

鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元 $/$个，根据市场调研发现售价是80元 $/$个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低 $x$元 $(x$为偶数），每周销售量为 $y$个．

（1）直接写出销售量 $y$个与降价 $x$元之间的函数关系式；

（2）设商户每周获得的利润为 $W$元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？

（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形， $\mathit{AB}=20$， $\mathit{BC}=10$，以 $\mathit{CD}$为一边向矩形外部作等腰直角 $\mathit{\Delta GDC}$， $\angle G=90°$．点 $M$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{AM}=a$，点 $P$沿折线 $\mathit{AD}-\mathit{DG}$运动，点 $Q$沿折线 $\mathit{BC}-\mathit{CG}$运动（与点 $G$不重合），在运动过程中始终保持线段 $\mathit{PQ}//\mathit{AB}$．设 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{AB}$之间的距离为 $x$．

（1）若 $a=12$．

①如图1，当点 $P$在线段 $\mathit{AD}$上时，若四边形 $\mathit{AMQP}$的面积为48，则 $x$的值为　    　；

②在运动过程中，求四边形 $\mathit{AMQP}$的最大面积；

（2）如图2，若点 $P$在线段 $\mathit{DG}$上时，要使四边形 $\mathit{AMQP}$的面积始终不小于50，求 $a$的取值范围．

某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量 $y$（件 $)$与销售单价 $x$（元 $)$之间的关系可以近似看作一次函数 $y=\mathit{kx}+b$，且当售价定为50元 $/$件时，每周销售30件，当售价定为70元 $/$件时，每周销售10件．

（1）求 $k$， $b$的值；

（2）求销售该商品每周的利润 $w$（元 $)$与销售单价 $x$（元 $)$之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．

在"新冠"疫情期间，全国人民"众志成城，同心抗疫"，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元 $/$ 件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量 $y$ （单位：件）与线下售价 $x$ （单位：元 $/$ 件， $12⩽x<24)$ 满足一次函数的关系，部分数据如下表：

$x$ （元     $/$ 件）	12	13	14	15	16
$y$ （件     $)$	1200	1100	1000	900	800

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当 $x$ 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．

某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为 $x$元 $(x$为正整数），每个月的销售利润为 $y$元．

（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？

（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第 $x$天生产的产品数量为 $y$件， $y$与 $x$满足如下关系： $y=\left\{\begin{array}{c}7.5x(0⩽x⩽4)\\ 5x+10(4<x⩽14)\end{array}\right.$．

（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？

（2）设第 $x$天生产的产品成本为 $P$元 $/$件， $P$与 $x$的函数图象如图．工人甲第 $x$天创造的利润为 $W$元，求 $W$与 $x$的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？