初中数学二次函数的应用解答题

某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 $x$轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．

如图1，直线 $l:y=-\frac{3}{4}x+b$与 $x$轴交于点 $A(4,0)$，与 $y$轴交于点 $B$，点 $C$是线段 $\mathit{OA}$上一动点 $(0<\mathit{AC}<\frac{16}{5})$．以点 $A$为圆心， $\mathit{AC}$长为半径作 $\odot A$交 $x$轴于另一点 $D$，交线段 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$并延长交 $\odot A$于点 $F$．

（1）求直线 $l$的函数表达式和 $\tan \angle \mathit{BAO}$的值；

（2）如图2，连接 $\mathit{CE}$，当 $\mathit{CE}=\mathit{EF}$时，

①求证： $\mathit{\Delta OCE}\backsim \mathit{\Delta OEA}$；

②求点 $E$的坐标；

（3）当点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上运动时，求 $\mathit{OE}\cdot \mathit{EF}$的最大值．

如图， $\mathit{\Delta OAB}$是边长为 $2+\sqrt{3}$的等边三角形，其中 $O$是坐标原点，顶点 $B$在 $y$轴正方向上，将 $\mathit{\Delta OAB}$折叠，使点 $A$落在边 $\mathit{OB}$上，记为 $A\text{'}$，折痕为 $\mathit{EF}$．

（1）当 $A\text{'}E//x$轴时，求点 $A\text{'}$和 $E$的坐标；

（2）当 $A\text{'}E//x$轴，且抛物线 $y=-\frac{1}{6}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A\text{'}$和 $E$时，求抛物线与 $x$轴的交点的坐标；

（3）当点 $A\text{'}$在 $\mathit{OB}$上运动，但不与点 $O$、 $B$重合时，能否使△ $A\text{'}\mathit{EF}$成为直角三角形？若能，请求出此时点 $A\text{'}$的坐标；若不能，请你说明理由．

交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征．其中流量 $q$（辆 $/$小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度 $v$（千米 $/$小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度 $k$（辆 $/$千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．

为配合大数据治堵行动，测得某路段流量 $q$与速度 $v$之间关系的部分数据如下表：

速度 $v$（千米 $/$小时）	$\dots$	5	10	20	32	40	48	$\dots$
流量 $q$（辆 $/$小时）	$\dots$	550	1000	1600	1792	1600	1152	$\dots$

（1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画 $q$， $v$关系最准确的是　　（只填上正确答案的序号）

① $q=90v+100$；② $q=\frac{32000}{v}$；③ $q=-2v^2+120v$．

（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？

（3）已知 $q$， $v$， $k$满足 $q=\mathit{vk}$，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题．

①市交通运行监控平台显示，当 $12⩽v<18$时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度 $k$在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；

②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离 $d$（米 $)$均相等，求流量 $q$最大时 $d$的值．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=30°$，点 $P$从点 $A$出发以 $2\mathit{cm}/s$的速度沿折线 $A-C-B$运动，点 $Q$从点 $A$出发以 $a(\mathit{cm}/s)$的速度沿 $\mathit{AB}$运动， $P$， $Q$两点同时出发，当某一点运动到点 $B$时，两点同时停止运动．设运动时间为 $x\left(s\right)$， $\mathit{\Delta APQ}$的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$， $y$关于 $x$的函数图象由 $C_1$， $C_2$两段组成，如图2所示．

（1）求 $a$的值；

（2）求图2中图象 $C_2$段的函数表达式；

（3）当点 $P$运动到线段 $\mathit{BC}$上某一段时 $\mathit{\Delta APQ}$的面积，大于当点 $P$在线段 $\mathit{AC}$上任意一点时 $\mathit{\Delta APQ}$的面积，求 $x$的取值范围．

如图1，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$各顶点的坐标分别为 $O(0,0)$， $A(3$， $3\sqrt{3})$、 $B(9$， $5\sqrt{3})$， $C(14,0)$，动点 $P$与 $Q$同时从 $O$点出发，运动时间为 $t$秒，点 $P$沿 $\mathit{OC}$方向以1单位长度 $/$秒的速度向点 $C$运动，点 $Q$沿折线 $\mathit{OA}-\mathit{AB}-\mathit{BC}$运动，在 $\mathit{OA}$、 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$上运动的速度分别为3， $\sqrt{3}$， $\frac{5}{2}$（单位长度 $/$秒），当 $P$、 $Q$中的一点到达 $C$点时，两点同时停止运动．

（1）求 $\mathit{AB}$所在直线的函数表达式；

（2）如图2，当点 $Q$在 $\mathit{AB}$上运动时，求 $\mathit{\Delta CPQ}$的面积 $S$关于 $t$的函数表达式及 $S$的最大值；

（3）在 $P$、 $Q$的运动过程中，若线段 $\mathit{PQ}$的垂直平分线经过四边形 $\mathit{OABC}$的顶点，求相应的 $t$值．

甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在 $O$点正上方 $1m$的 $P$处发出一球，羽毛球飞行的高度 $y\left(m\right)$与水平距离 $x\left(m\right)$之间满足函数表达式 $y=a{(x-4)}^2+h$，已知点 $O$与球网的水平距离为 $5m$，球网的高度为 $1.55m$．

（1）当 $a=-\frac{1}{24}$时，①求 $h$的值；②通过计算判断此球能否过网．

（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 $O$的水平距离为 $7m$，离地面的高度为 $\frac{12}{5}m$的 $Q$处时，乙扣球成功，求 $a$的值．

某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为 $50m$．设饲养室长为 $x\left(m\right)$，占地面积为 $y\left(m^2\right)$．

（1）如图1，问饲养室长 $x$为多少时，占地面积 $y$最大？

（2）如图2，现要求在图中所示位置留 $2m$宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多 $2m$就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．

如图，某日的钱塘江观潮信息如图：

按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离 $s$（千米）与时间 $t$（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“ $11:40$时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点 $A(0,12)$，点 $B$坐标为 $(m,0)$，曲线 $\mathit{BC}$可用二次函数 $s=\frac{1}{125}{t}^2+\mathit{bt}+c(b$， $c$是常数）刻画．

（1）求 $m$的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；

（2） $11:59$时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米 $/$分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？

（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米 $/$分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度 $v=v_0+\frac{2}{125}(t-30)$， $v_0$是加速前的速度）．

湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 $20000\mathit{kg}$淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本 $=$放养总费用 $+$收购成本）．

（1）设每天的放养费用是 $a$万元，收购成本为 $b$万元，求 $a$和 $b$的值；

（2）设这批淡水鱼放养 $t$天后的质量为 $m\left(\mathit{kg}\right)$，销售单价为 $y$元 $/\mathit{kg}$．根据以往经验可知： $m$与 $t$的函数关系为 $m=\left\{\begin{array}{c}20000(0⩽t⩽50)\\ 100t+15000(50<t⩽100)\end{array}\right.$； $y$与 $t$的函数关系如图所示．

①分别求出当 $0⩽t⩽50$和 $50<t⩽100$时， $y$与 $t$的函数关系式；

②设将这批淡水鱼放养 $t$天后一次性出售所得利润为 $W$元，求当 $t$为何值时， $W$最大？并求出最大值．（利润 $=$销售总额 $-$总成本）

如图1，地面 $\mathit{BD}$上两根等长立柱 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$之间悬挂一根近似成抛物线 $y=\frac{1}{10}{x}^2-\frac{4}{5}x+3$的绳子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离 $\mathit{AB}$为3米的位置处用一根立柱 $\mathit{MN}$撑起绳子（如图 $2)$，使左边抛物线 $F_1$的最低点距 $\mathit{MN}$为1米，离地面1.8米，求 $\mathit{MN}$的长；

（3）将立柱 $\mathit{MN}$的长度提升为3米，通过调整 $\mathit{MN}$的位置，使抛物线 $F_2$对应函数的二次项系数始终为 $\frac{1}{4}$，设 $\mathit{MN}$离 $\mathit{AB}$的距离为 $m$，抛物线 $F_2$的顶点离地面距离为 $k$，当 $2⩽k⩽2.5$时，求 $m$的取值范围．

如图1，地面 $\mathit{BD}$上两根等长立柱 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$之间悬挂一根近似成抛物线 $y=\frac{1}{10}{x}^2-\frac{4}{5}x+3$的绳子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离 $\mathit{AB}$为3米的位置处用一根立柱 $\mathit{MN}$撑起绳子（如图 $2)$，使左边抛物线 $F_1$的最低点距 $\mathit{MN}$为1米，离地面1.8米，求 $\mathit{MN}$的长；

（3）将立柱 $\mathit{MN}$的长度提升为3米，通过调整 $\mathit{MN}$的位置，使抛物线 $F_2$对应函数的二次项系数始终为 $\frac{1}{4}$，设 $\mathit{MN}$离 $\mathit{AB}$的距离为 $m$，抛物线 $F_2$的顶点离地面距离为 $k$，当 $2⩽k⩽2.5$时，求 $m$的取值范围．

课本中有一个例题：

有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为 $6m$，如何设计这个窗户，使透光面积最大？

这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 $0.35m$时，透光面积最大值约为 $1.05m^2$．

我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为 $6m$，利用图3，解答下列问题：

（1）若 $\mathit{AB}$为 $1m$，求此时窗户的透光面积？

（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．

小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度 $v(m/s)$与时间 $t\left(s\right)$的关系如图1中的实线所示，行驶路程 $s\left(m\right)$与时间 $t\left(s\right)$的关系如图2所示，在加速过程中， $s$与 $t$满足表达式 $s=a{t}^2$

（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求 $a$的值；

（2）求图2中 $A$点的纵坐标 $h$，并说明它的实际意义；

（3）爸爸在乙处等待7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度 $v(m/s)$与时间 $t\left(s\right)$的关系如图1中的折线 $O-B-C$所示，加速过程中行驶路程 $s\left(m\right)$与时间 $t\left(s\right)$的关系也满足 $s=a{t}^2$，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．

把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为 $t$（秒 $)$时该足球距离地面的高度 $h$（米 $)$适用公式 $h=20t-5t^2(0⩽t⩽4)$．

（1）当 $t=3$时，求足球距离地面的高度；

（2）当足球距离地面的高度为10米时，求 $t$；

（3）若存在实数 $t_1$， $t_2(t_1\ne t_2)$当 $t=t_1$或 $t_2$时，足球距离地面的高度都为 $m$（米 $)$，求 $m$的取值范围．