初中数学切线的性质解答题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}$为直径，作 $\mathit{OD}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$，延长 $\mathit{BC}$， $\mathit{OD}$交于点 $F$，过点 $C$作 $\odot O$的切线 $\mathit{CE}$，交 $\mathit{OF}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{EC}=\mathit{ED}$；

（2）如果 $\mathit{OA}=4$， $\mathit{EF}=3$，求弦 $\mathit{AC}$的长．

如图， $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$是 $\odot O$的两条直径，过点 $C$的 $\odot O$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$．

（1）求证； $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{CAB}$；

（2）若 $B$是 $\mathit{OE}$的中点， $\mathit{AC}=12$，求 $\odot O$的半径．

如图， $\mathit{BC}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{CE}$是 $\odot O$的弦，过点 $E$作 $\odot O$的切线，交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $G$，过点 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{GE}$于点 $F$，交 $\mathit{CE}$的延长线于点 $A$．

（1）求证： $\angle \mathit{ABG}=2\angle C$；

（2）若 $\mathit{GF}=3\sqrt{3}$， $\mathit{GB}=6$，求 $\odot O$的半径．

如图， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PA}$切 $\odot O$于点 $A$， $\mathit{PB}$切 $\odot O$于点 $B$，且 $\angle \mathit{APB}=60°$．

（1）求 $\angle \mathit{BAC}$的度数；

（2）若 $\mathit{PA}=1$，求点 $O$到弦 $\mathit{AB}$的距离．

$\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $A$，直线 $l$与 $\odot O$相离， $\mathit{OB}\perp l$于点 $B$，且 $\mathit{OB}=5$， $\mathit{OB}$与 $\odot O$交于点 $P$， $\mathit{AP}$的延长线交直线 $l$于点 $C$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{BC}$；

（2）若 $\odot O$的半径为3，求线段 $\mathit{AP}$的长；

（3）若在 $\odot O$上存在点 $G$，使 $\mathit{\Delta GBC}$是以 $\mathit{BC}$为底边的等腰三角形，求 $\odot O$的半径 $r$的取值范围．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(k+4)x+4k=0$．

（1）求证：无论 $k$为任何实数，此方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根为 $x_1$、 $x_2$，满足 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{4}$，求 $k$的值；

（3）若 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 $x_1$、 $x_2$，求 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的内切圆半径．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$， $D$为圆上的两点， $\mathit{OC}//\mathit{BD}$，弦 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$相交于点 $E$．

（1）求证： $\widehat{\mathit{AC}}=\widehat{\mathit{CD}}$；

（2）若 $\mathit{CE}=1$， $\mathit{EB}=3$，求 $\odot O$的半径；

（3）在（2）的条件下，过点 $C$作 $\odot O$的切线，交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}//\mathit{CB}$交 $\odot O$于 $F$， $Q$两点（点 $F$在线段 $\mathit{PQ}$上），求 $\mathit{PQ}$的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，连结 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AC}$交于点 $O$，过点 $O$作 $\mathit{OH}\perp \mathit{BC}$于点 $H$，以点 $O$为圆心， $\mathit{OH}$为半径的半圆交 $\mathit{AC}$于点 $M$．

①求证： $\mathit{DC}$是 $\odot O$的切线．

②若 $\mathit{AC}=4\mathit{MC}$且 $\mathit{AC}=8$，求图中阴影部分的面积．

③在②的条件下， $P$是线段 $\mathit{BD}$上的一动点，当 $\mathit{PD}$为何值时， $\mathit{PH}+\mathit{PM}$的值最小，并求出最小值．

在屏幕上有如下内容：

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$，直径 $\mathit{AB}$的长为2，过点 $C$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $D$．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．

（1）在屏幕内容中添加条件 $\angle D=30°$，求 $\mathit{AD}$的长．请你解答．

（2）以下是小明、小聪的对话：

小明：我加的条件是 $\mathit{BD}=1$，就可以求出 $\mathit{AD}$的长

小聪：你这样太简单了，我加的是 $\angle A=30°$，连结 $\mathit{OC}$，就可以证明 $\mathit{\Delta ACB}$与 $\mathit{\Delta DCO}$全等．

参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．

如图，在 $▱\mathit{OABC}$中，以 $O$为圆心， $\mathit{OA}$为半径的圆与 $\mathit{BC}$相切于点 $B$，与 $\mathit{OC}$相交于点 $D$．

（1）求 $\widehat{\mathit{BD}}$的度数．

（2）如图，点 $E$在 $\odot O$上，连结 $\mathit{CE}$与 $\odot O$交于点 $F$，若 $\mathit{EF}=\mathit{AB}$，求 $\angle \mathit{OCE}$的度数．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{ED}$切 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{AD}$交 $\odot O$于点 $F$， $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAD}$，连接 $\mathit{BF}$．

（1） 求证： $\mathit{AD}\perp \mathit{ED}$；

（2） 若 $\mathit{CD}=4$， $\mathit{AF}=2$，求 $\odot O$的半径 ．

已知 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$分别与 $\odot O$相切于点 $A$， $B$， $\angle \mathit{APB}=80°$， $C$为 $\odot O$上一点．

（Ⅰ）如图①，求 $\angle \mathit{ACB}$的大小；

（Ⅱ）如图②， $\mathit{AE}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AE}$与 $\mathit{BC}$相交于点 $D$．若 $\mathit{AB}=\mathit{AD}$，求 $\angle \mathit{EAC}$的大小．

已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}$与 $\mathit{AB}$相交， $\angle \mathit{BAC}=38°$，

$\left(I\right)$如图①，若 $D$为 $\widehat{\mathit{AB}}$的中点，求 $\angle \mathit{ABC}$和 $\angle \mathit{ABD}$的大小；

（Ⅱ）如图②，过点 $D$作 $\odot O$的切线，与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $P$，若 $\mathit{DP}//\mathit{AC}$，求 $\angle \mathit{OCD}$的大小．

已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AT}$是 $\odot O$的切线， $\angle \mathit{ABT}=50°$， $\mathit{BT}$交 $\odot O$于点 $C$， $E$是 $\mathit{AB}$上一点，延长 $\mathit{CE}$交 $\odot O$于点 $D$．

（1）如图①，求 $\angle T$和 $\angle \mathit{CDB}$的大小；

（2）如图②，当 $\mathit{BE}=\mathit{BC}$时，求 $\angle \mathit{CDO}$的大小．

在 $\odot O$ 中， $\mathit{AB}$ 为直径， $C$ 为 $\odot O$ 上一点．

（Ⅰ）如图1．过点 $C$ 作 $\odot O$ 的切线，与 $\mathit{AB}$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $\angle \mathit{CAB}=27°$ ，求 $\angle P$ 的大小；

（Ⅱ）如图2， $D$ 为 $\widehat{\mathit{AC}}$ 上一点，且 $\mathit{OD}$ 经过 $\mathit{AC}$ 的中点 $E$ ，连接 $\mathit{DC}$ 并延长，与 $\mathit{AB}$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $\angle \mathit{CAB}=10°$ ，求 $\angle P$ 的大小．