初中数学切线的性质解答题

如图， $\mathit{DB}$ 过 $\odot O$ 的圆心，交 $\odot O$ 于点 $A$ 、 $B$ ， $\mathit{DC}$ 是 $\odot O$ 的切线，点 $C$ 是切点，已知 $\angle D=30°$ ， $\mathit{DC}=\sqrt{3}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BOC}\backsim \mathit{\Delta BCD}$ ；

（2）求 $\mathit{\Delta BCD}$ 的周长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦， $C$是 $\odot O$外一点， $\mathit{OC}\perp \mathit{OA}$， $\mathit{CO}$交 $\mathit{AB}$于点 $P$，交 $\odot O$于点 $D$，且 $\mathit{CP}=\mathit{CB}$．

（1）判断直线 $\mathit{BC}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\angle A=30°$， $\mathit{OP}=1$，求图中阴影部分的面积．

如图， $\mathit{OM}$ 是 $\odot O$ 的半径，过 $M$ 点作 $\odot O$ 的切线 $\mathit{AB}$ ，且 $\mathit{MA}=\mathit{MB}$ ， $\mathit{OA}$ ， $\mathit{OB}$ 分别交 $\odot O$ 于 $C$ ， $D$ ．求证： $\mathit{AC}=\mathit{BD}$ ．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}a$ ， $\angle \mathit{ABC}=60$ ，过点 $B$ 的 $\odot O$ 与边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 分别交于 $E$ ， $F$ 两点． $\mathit{OG}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $G$ ， $\mathit{OG}=a$ ．连接 $\mathit{OB}$ ， $\mathit{OE}$ ， $\mathit{OF}$ ．

（1）若 $\mathit{BF}=2a$ ，试判断 $\mathit{\Delta BOF}$ 的形状，并说明理由；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{BF}$ ，求证： $\odot O$ 与 $\mathit{AD}$ 相切于点 $A$ ．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线与 $\odot O$ 交于点 $D$ ，与 $\mathit{AC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{CD}$ 并延长与 $\odot O$ 过点 $A$ 的切线交于点 $F$ ，记 $\angle \mathit{BAC}=\alpha$ ．

（1）如图1，若 $\alpha =60°$ ，

①直接写出 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{DC}}$ 的值为 　　；

②当 $\odot O$ 的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 　　；

（2）如图2，若 $\alpha <60°$ ，且 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{DC}}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{DE}=4$ ，求 $\mathit{BE}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ，点 $O$ 在 $\mathit{AC}$ 上，以 $\mathit{OA}$ 为半径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线 $\mathit{DF}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}=\mathit{DF}$ ；

（2）若 $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CF}=1$ ，求半圆 $O$ 的半径长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{AE}$ 与过点 $D$ 的切线互相垂直，垂足为 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}$ 平分 $\angle \mathit{BAE}$ ；

（2）若 $\mathit{CD}=\mathit{DE}$ ，求 $\sin \angle \mathit{BAC}$ 的值．

如图， $\mathit{AB}$ 为半圆 $O$ 的直径， $C$ 为半圆 $O$ 上一点， $\mathit{AD}$ 与过点 $C$ 的切线垂直，垂足为 $D$ ， $\mathit{AD}$ 交半圆 $O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{DAB}$ ；

（2）若 $\mathit{AE}=2\mathit{DE}$ ，试判断以 $O$ ， $A$ ， $E$ ， $C$ 为顶点的四边形的形状，并说明理由．

如图， $\mathit{AC}$ 为 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AP}$ 为 $\odot O$ 的切线， $M$ 是 $\mathit{AP}$ 上一点，过点 $M$ 的直线与 $\odot O$ 交于点 $B$ ， $D$ 两点，与 $\mathit{AC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{BE}$ ．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{BM}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AD}=\frac{24}{5}$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆，其切线 $\mathit{AE}$与直径 $\mathit{BD}$的延长线相交于点 $E$，且 $\mathit{AE}=\mathit{AB}$．

（1）求 $\angle \mathit{ACB}$的度数；

（2）若 $\mathit{DE}=2$，求 $\odot O$的半径．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 在 $\odot O$ 上， $\mathit{AD}$ 与过点 $C$ 的切线互相垂直，垂足为 $D$ ．连接 $\mathit{BC}$ 并延长，交 $\mathit{AD}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{AB}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=10$ ， $\mathit{BC}=6$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长．

已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$是 $\odot O$的两条切线， $\mathit{DC}$与 $\odot O$相切于点 $E$，分别交 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BN}$于 $D$、 $C$两点．

（1）如图1，求证： $A{B}^2=4\mathit{AD}·\mathit{BC}$；

（2）如图2，连接 $\mathit{OE}$并延长交 $\mathit{AM}$于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．若 $\angle \mathit{ADE}=2\angle \mathit{OFC}$， $\mathit{AD}=1$，求图中阴影部分的面积．

如图，在平面直角坐标系中， $\odot M$与 $x$轴的正半轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴的正半轴相切于点 $C$，连接 $\mathit{MA}$、 $\mathit{MC}$，已知 $\odot M$半径为2， $\angle \mathit{AMC}=60°$，双曲线 $y=\frac{k}{x}(x>0)$经过圆心 $M$．

（1）求双曲线 $y=\frac{k}{x}$的解析式；

（2）求直线 $\mathit{BC}$的解析式．

如图1，已知 $\odot O$外一点 $P$向 $\odot O$作切线 $\mathit{PA}$，点 $A$为切点，连接 $\mathit{PO}$并延长交 $\odot O$于点 $B$，连接 $\mathit{AO}$并延长交 $\odot O$于点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp \mathit{PB}$，分别交 $\mathit{PB}$于点 $E$，交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{AD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta APO}~\mathit{\Delta DCA}$；

（2）如图2，当 $\mathit{AD}=\mathit{AO}$时

①求 $\angle P$的度数；

②连接 $\mathit{AB}$，在 $\odot O$上是否存在点 $Q$使得四边形 $\mathit{APQB}$是菱形．若存在，请直接写出 $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{CQ}}$的值；若不存在，请说明理由．

探究活动一：

如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线 $\mathit{AB}$上的三点 $A(1,3)$、 $B(2,5)$、 $C(4,9)$，有 $k_{\mathit{AB}}=\frac{5-3}{2-1}=2$， $k_{\mathit{AC}}=\frac{9-3}{4-1}=2$，发现 $k_{\mathit{AB}}=k_{\mathit{AC}}$，兴趣小组提出猜想：若直线 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$上任意两点坐

标 $P(x_1$， $y_1)$， $Q(x_2$， $y_2\left)\right(x_1\ne x_2)$，则 $k_{\mathit{PQ}}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立， $k_{\mathit{PQ}}$是定值，并且是直线 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$中的 $k$，叫做这条直线的斜率．

请你应用以上规律直接写出过 $S(-2,-2)$、 $T(4,2)$两点的直线 $\mathit{ST}$的斜率 $k_{\mathit{ST}}=$　　．

探究活动二

数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．

如图2，直线 $\mathit{DE}$与直线 $\mathit{DF}$垂直于点 $D$， $D(2,2)$， $E(1,4)$， $F(4,3)$．请求出直线 $\mathit{DE}$与直线 $\mathit{DF}$的斜率之积．

综合应用

如图3， $\odot M$为以点 $M$为圆心， $\mathit{MN}$的长为半径的圆， $M(1,2)$， $N(4,5)$，请结合探究活动二的结论，求出过点 $N$的 $\odot M$的切线的解析式．