初中数学计算题

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BC}=3$，动点 $P$从 $B$出发，以每秒1个单位的速度，沿射线 $\mathit{BC}$方向移动，作 $\mathit{\Delta PAB}$关于直线 $\mathit{PA}$的对称 $\mathit{\Delta PAB}\text{'}$，设点 $P$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$．

①如图2，当点 $B\text{'}$落在 $\mathit{AC}$上时，显然 $\mathit{\Delta PAB}\text{'}$是直角三角形，求此时 $t$的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得 $\mathit{\Delta PCB}\text{'}$是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 $t$的值？若不存在，请说明理由．

（2）当 $P$点不与 $C$点重合时，若直线 $\mathit{PB}\text{'}$与直线 $\mathit{CD}$相交于点 $M$，且当 $t<3$时存在某一时刻有结论 $\angle \mathit{PAM}=45°$成立，试探究：对于 $t>3$的任意时刻，结论“ $\angle \mathit{PAM}=45°$”是否总是成立？请说明理由．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，正方形 $\mathit{BDEF}$的边长为2，将正方形 $\mathit{BDEF}$绕点 $B$旋转一周，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BE}$、 $\mathit{CD}$．

（1）请找出图中与 $\mathit{\Delta ABE}$相似的三角形，并说明理由；

（2）求当 $A$、 $E$、 $F$三点在一直线上时 $\mathit{CD}$的长；

（3）设 $\mathit{AE}$的中点为 $M$，连接 $\mathit{FM}$，试求 $\mathit{FM}$长的取值范围．

如图所示，二次函数 $y=k{(x-1)}^2+2$的图象与一次函数 $y=\mathit{kx}-k+2$的图象交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，直线 $\mathit{AB}$分别与 $x$、 $y$轴交于 $C$、 $D$两点，其中 $k<0$．

（1）求 $A$、 $B$两点的横坐标；

（2）若 $\mathit{\Delta OAB}$是以 $\mathit{OA}$为腰的等腰三角形，求 $k$的值；

（3）二次函数图象的对称轴与 $x$轴交于点 $E$，是否存在实数 $k$，使得 $\angle \mathit{ODC}=2\angle \mathit{BEC}$，若存在，求出 $k$的值；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,0)$， $B(8,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $C$是抛物线与 $y$轴的交点，连接 $\mathit{BC}$，设点 $P$是抛物线上在第一象限内的点， $\mathit{PD}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $D$．

①是否存在点 $P$，使线段 $\mathit{PD}$的长度最大？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

②当 $\mathit{\Delta PDC}$与 $\mathit{\Delta COA}$相似时，求点 $P$的坐标．

如图在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{3}{4}x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，点 $P$、 $Q$同时从点 $A$出发，运动时间为 $t$秒．其中点 $P$沿射线 $\mathit{AB}$运动，速度为每秒4个单位长度，点 $Q$沿射线 $\mathit{AO}$运动，速度为每秒5个单位长度．以点 $Q$为圆心， $\mathit{PQ}$长为半径作 $\odot Q$．

（1）求证：直线 $\mathit{AB}$是 $\odot Q$的切线；

（2）过点 $A$左侧 $x$轴上的任意一点 $C(m,0)$，作直线 $\mathit{AB}$的垂线 $\mathit{CM}$，垂足为 $M$．若 $\mathit{CM}$与 $\odot Q$相切于点 $D$，求 $m$与 $t$的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，是否存在点 $C$，直线 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CM}$、 $y$轴与 $\odot Q$同时相切？若存在，请直接写出此时点 $C$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知：如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{OB}=25$， $\mathit{OC}=20$，若点 $M$是边 $\mathit{OC}$上的一个动点（与点 $O$、 $C$不重合），过点 $M$作 $\mathit{MN}//\mathit{OB}$交 $\mathit{BC}$于点 $N$．

（1）求点 $C$的坐标；

（2）当 $\mathit{\Delta MCN}$的周长与四边形 $\mathit{OMNB}$的周长相等时，求 $\mathit{CM}$的长；

（3）在 $\mathit{OB}$上是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta MNQ}$为等腰直角三角形？若存在，请求出此时 $\mathit{MN}$的长；若不存在，请说明理由．

已知点 $A(-1,1)$、 $B(4,6)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$上，

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $F$的坐标为 $(0$， $m\left)\right(m>2)$，直线 $\mathit{AF}$交抛物线于另一点 $G$，过点 $G$作 $x$轴的垂线，垂足为 $H$．设抛物线与 $x$轴的正半轴交于点 $E$，连接 $\mathit{FH}$、 $\mathit{AE}$，求证： $\mathit{FH}//\mathit{AE}$；

（3）如图2，直线 $\mathit{AB}$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $C$、 $D$两点．点 $P$从点 $C$出发，沿射线 $\mathit{CD}$方向匀速运动，速度为每秒 $\sqrt{2}$个单位长度；同时点 $Q$从原点 $O$出发，沿 $x$轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点 $M$是直线 $\mathit{PQ}$与抛物线的一个交点，当运动到 $t$秒时， $\mathit{QM}=2\mathit{PM}$，直接写出 $t$的值．

已知：如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，四边形 $\mathit{OABC}$是矩形， $\mathit{OA}=4$， $\mathit{OC}=3$，动点 $P$从点 $C$出发，沿射线 $\mathit{CB}$方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点 $Q$从点 $O$出发，沿 $x$轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点 $P$、点 $Q$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）当 $t=1s$时，求经过点 $O$， $P$， $A$三点的抛物线的解析式；

（2）当 $t=2s$时，求 $\tan \angle \mathit{QPA}$的值；

（3）当线段 $\mathit{PQ}$与线段 $\mathit{AB}$相交于点 $M$，且 $\mathit{BM}=2\mathit{AM}$时，求 $t\left(s\right)$的值；

（4）连接 $\mathit{CQ}$，当点 $P$， $Q$在运动过程中，记 $\mathit{\Delta CQP}$与矩形 $\mathit{OABC}$重叠部分的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其对称轴交抛物线于点 $D$，交 $x$轴于点 $E$，已知 $\mathit{OB}=\mathit{OC}=6$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）连接 $\mathit{BD}$， $F$为抛物线上一动点，当 $\angle \mathit{FAB}=\angle \mathit{EDB}$时，求点 $F$的坐标；

（3）平行于 $x$轴的直线交抛物线于 $M$、 $N$两点，以线段 $\mathit{MN}$为对角线作菱形 $\mathit{MPNQ}$，当点 $P$在 $x$轴上，且 $\mathit{PQ}=\frac{1}{2}\mathit{MN}$时，求菱形对角线 $\mathit{MN}$的长．

抛物线 $y=-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x-1$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，其顶点为 $D$．将抛物线位于直线 $l:y=t(t<\frac{25}{24})$上方的部分沿直线 $l$向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“ $M$”形的新图象．

（1）点 $A$， $B$， $D$的坐标分别为　       ，　     　，　      　；

（2）如图①，抛物线翻折后，点 $D$落在点 $E$处．当点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$内（含边界）时，求 $t$的取值范围；

（3）如图②，当 $t=0$时，若 $Q$是“ $M$”形新图象上一动点，是否存在以 $\mathit{CQ}$为直径的圆与 $x$轴相切于点 $P$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $L:y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(0,1)$，与它的对称轴直线 $x=1$交于点 $B$．

（1）直接写出抛物线 $L$的解析式；

（2）如图1，过定点的直线 $y=\mathit{kx}-k+4(k<0)$与抛物线 $L$交于点 $M$、 $N$．若 $\mathit{\Delta BMN}$的面积等于1，求 $k$的值；

（3）如图2，将抛物线 $L$向上平移 $m(m>0)$个单位长度得到抛物线 $L_1$，抛物线 $L_1$与 $y$轴交于点 $C$，过点 $C$作 $y$轴的垂线交抛物线 $L_1$于另一点 $D$． $F$为抛物线 $L_1$的对称轴与 $x$轴的交点， $P$为线段 $\mathit{OC}$上一点．若 $\mathit{\Delta PCD}$与 $\mathit{\Delta POF}$相似，并且符合条件的点 $P$恰有2个，求 $m$的值及相应点 $P$的坐标．

如图，直线 $y=-\frac{3}{4}x+3$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$．抛物线 $y=-\frac{3}{8}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点，与 $x$轴的另一个交点为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是第一象限抛物线上的点，连接 $\mathit{OP}$交直线 $\mathit{AB}$于点 $Q$．设点 $P$的横坐标为 $m$， $\mathit{PQ}$与 $\mathit{OQ}$的比值为 $y$，求 $y$与 $m$的函数关系式，并求出 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{OQ}$的比值的最大值；

（3）点 $D$是抛物线对称轴上的一动点，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{CD}$，设 $\mathit{\Delta ODC}$外接圆的圆心为 $M$，当 $\sin \angle \mathit{ODC}$的值最大时，求点 $M$的坐标．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知点 $A$和点 $B$的坐标分别为 $A(-2,0)$， $B(0,-6)$，将 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$绕点 $O$按顺时针方向分别旋转 $90°$， $180°$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1\mathit{OC}$， $\text{Rt}\Delta \text{EOF}$．抛物线 $C_1$经过点 $C$， $A$， $B$；抛物线 $C_2$经过点 $C$， $E$， $F$．

（1）点 $C$的坐标为　    　，点 $E$的坐标为　    　；抛物线 $C_1$的解析式为　    　．抛物线 $C_2$的解析式为　      　；

（2）如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线 $C_1$上的一个动点．

①若 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABO}$时，求 $P$点的坐标；

②如图2，过点 $P$作 $x$轴的垂线交直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交抛物线 $C_2$于点 $N$，记 $h=\mathit{PM}+\mathit{NM}+\sqrt{2}\mathit{BM}$，求 $h$与 $x$的函数关系式，当 $-5⩽x⩽-2$时，求 $h$的取值范围．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x+2$与 $x$轴交于点 $A$， $B$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）试求 $A$， $B$， $C$的坐标；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$绕 $\mathit{AB}$中点 $M$旋转 $180°$，得到 $\mathit{\Delta BAD}$．

①求点 $D$的坐标；

②判断四边形 $\mathit{ADBC}$的形状，并说明理由；

（3）在该抛物线对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta BMP}$与 $\mathit{\Delta BAD}$相似？若存在，请直接写出所有满足条件的 $P$点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与直线 $y=x+1$相交于 $A(-1,0)$， $B(4,m)$两点，且抛物线经过点 $C(5,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是抛物线上的一个动点（不与点 $A$、点 $B$重合），过点 $P$作直线 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$．

①当 $\mathit{PE}=2\mathit{ED}$时，求 $P$点坐标；

②是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta BEC}$为等腰三角形？若存在请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．