初中数学计算题

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(-2,-3)$，直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $D$， $E$为二次函数图象上任一点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点 $E$在直线 $\mathit{BC}$的上方，过 $E$分别作 $\mathit{BC}$和 $y$轴的垂线，交直线 $\mathit{BC}$于不同的两点 $F$， $G(F$在 $G$的左侧），求 $\mathit{\Delta EFG}$周长的最大值；

（3）是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta EDB}$是以 $\mathit{BD}$为直角边的直角三角形？如果存在，求点 $E$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴为直线 $x=-1$，且抛物线经过 $A(1,0)$， $C(0,3)$两点，与 $x$轴交于点 $B$．

（1）若直线 $y=\mathit{mx}+n$经过 $B$、 $C$两点，求直线 $\mathit{BC}$和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴 $x=-1$上找一点 $M$，使点 $M$到点 $A$的距离与到点 $C$的距离之和最小，求出点 $M$的坐标；

（3）设点 $P$为抛物线的对称轴 $x=-1$上的一个动点，求使 $\mathit{\Delta BPC}$为直角三角形的点 $P$的坐标．

如图1，已知平行四边形 $\mathit{ABCD}$顶点 $A$的坐标为 $(2,6)$，点 $B$在 $y$轴上，且 $\mathit{AD}//\mathit{BC}//x$轴，过 $B$， $C$， $D$三点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的顶点坐标为 $(2,2)$，点 $F(m,6)$是线段 $\mathit{AD}$上一动点，直线 $\mathit{OF}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设四边形 $\mathit{ABEF}$的面积为 $S$，请求出 $S$与 $m$的函数关系式，并写出自变量 $m$的取值范围；

（3）如图2，过点 $F$作 $\mathit{FM}\perp x$轴，垂足为 $M$，交直线 $\mathit{AC}$于 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp y$轴，垂足为 $N$，连接 $\mathit{MN}$，直线 $\mathit{AC}$分别交 $x$轴， $y$轴于点 $H$， $G$，试求线段 $\mathit{MN}$的最小值，并直接写出此时 $m$的值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}+c$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C(0,3)$ ， $\tan \angle \mathit{OAC}=\frac{3}{4}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $H$ 是线段 $\mathit{AC}$ 上任意一点，过 $H$ 作直线 $\mathit{HN}\perp x$ 轴于点 $N$ ，交抛物线于点 $P$ ，求线段 $\mathit{PH}$ 的最大值；

（3）点 $M$ 是抛物线上任意一点，连接 $\mathit{CM}$ ，以 $\mathit{CM}$ 为边作正方形 $\mathit{CMEF}$ ，是否存在点 $M$ 使点 $E$ 恰好落在对称轴上？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(-2,-3)$，直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $D$， $E$为二次函数图象上任一点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点 $E$在直线 $\mathit{BC}$的上方，过 $E$分别作 $\mathit{BC}$和 $y$轴的垂线，交直线 $\mathit{BC}$于不同的两点 $F$， $G(F$在 $G$的左侧），求 $\mathit{\Delta EFG}$周长的最大值；

（3）是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta EDB}$是以 $\mathit{BD}$为直角边的直角三角形？如果存在，求点 $E$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5$ 经过 $A(-5,0)$ ， $B(-4,-3)$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $\mathit{CD}$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为该抛物线上一动点（与点 $B$ 、 $C$ 不重合），设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

①当点 $P$ 在直线 $\mathit{BC}$ 的下方运动时，求 $\mathit{\Delta PBC}$ 的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{BCD}$ ？若存在，求出所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 交 $x$ 轴于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$ ．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）如图2，该抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $F$ ，点 $D(2,3)$ 在该抛物线上．

①求四边形 $\mathit{ACFD}$ 的面积；

②点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的动点（点 $P$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合），过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp x$ 轴交该抛物线于点 $Q$ ，连接 $\mathit{AQ}$ 、 $\mathit{DQ}$ ，当 $\mathit{\Delta AQD}$ 是直角三角形时，求出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 经过点 $A(1,0)$ 和点 $B(5,0)$ ．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）该抛物线与直线 $y=\frac{3}{5}x+3$ 相交于 $C$ 、 $D$ 两点，点 $P$ 是抛物线上的动点且位于 $x$ 轴下方，直线 $\mathit{PM}//y$ 轴，分别与 $x$ 轴和直线 $\mathit{CD}$ 交于点 $M$ 、 $N$ ．

①连接 $\mathit{PC}$ 、 $\mathit{PD}$ ，如图1，在点 $P$ 运动过程中， $\mathit{\Delta PCD}$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；

②连接 $\mathit{PB}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CQ}\perp \mathit{PM}$ ，垂足为点 $Q$ ，如图2，是否存在点 $P$ ，使得 $\mathit{\Delta CNQ}$ 与 $\mathit{\Delta PBM}$ 相似？若存在，求出满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

抛物线 $y=-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x-1$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，其顶点为 $D$．将抛物线位于直线 $l:y=t(t<\frac{25}{24})$上方的部分沿直线 $l$向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“ $M$”形的新图象．

（1）点 $A$， $B$， $D$的坐标分别为　       ，　     　，　      　；

（2）如图①，抛物线翻折后，点 $D$落在点 $E$处．当点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$内（含边界）时，求 $t$的取值范围；

（3）如图②，当 $t=0$时，若 $Q$是“ $M$”形新图象上一动点，是否存在以 $\mathit{CQ}$为直径的圆与 $x$轴相切于点 $P$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $L:y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(0,1)$，与它的对称轴直线 $x=1$交于点 $B$．

（1）直接写出抛物线 $L$的解析式；

（2）如图1，过定点的直线 $y=\mathit{kx}-k+4(k<0)$与抛物线 $L$交于点 $M$、 $N$．若 $\mathit{\Delta BMN}$的面积等于1，求 $k$的值；

（3）如图2，将抛物线 $L$向上平移 $m(m>0)$个单位长度得到抛物线 $L_1$，抛物线 $L_1$与 $y$轴交于点 $C$，过点 $C$作 $y$轴的垂线交抛物线 $L_1$于另一点 $D$． $F$为抛物线 $L_1$的对称轴与 $x$轴的交点， $P$为线段 $\mathit{OC}$上一点．若 $\mathit{\Delta PCD}$与 $\mathit{\Delta POF}$相似，并且符合条件的点 $P$恰有2个，求 $m$的值及相应点 $P$的坐标．

如图，直线 $y=-\frac{3}{4}x+3$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$．抛物线 $y=-\frac{3}{8}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点，与 $x$轴的另一个交点为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是第一象限抛物线上的点，连接 $\mathit{OP}$交直线 $\mathit{AB}$于点 $Q$．设点 $P$的横坐标为 $m$， $\mathit{PQ}$与 $\mathit{OQ}$的比值为 $y$，求 $y$与 $m$的函数关系式，并求出 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{OQ}$的比值的最大值；

（3）点 $D$是抛物线对称轴上的一动点，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{CD}$，设 $\mathit{\Delta ODC}$外接圆的圆心为 $M$，当 $\sin \angle \mathit{ODC}$的值最大时，求点 $M$的坐标．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知点 $A$和点 $B$的坐标分别为 $A(-2,0)$， $B(0,-6)$，将 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$绕点 $O$按顺时针方向分别旋转 $90°$， $180°$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1\mathit{OC}$， $\text{Rt}\Delta \text{EOF}$．抛物线 $C_1$经过点 $C$， $A$， $B$；抛物线 $C_2$经过点 $C$， $E$， $F$．

（1）点 $C$的坐标为　    　，点 $E$的坐标为　    　；抛物线 $C_1$的解析式为　    　．抛物线 $C_2$的解析式为　      　；

（2）如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线 $C_1$上的一个动点．

①若 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABO}$时，求 $P$点的坐标；

②如图2，过点 $P$作 $x$轴的垂线交直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交抛物线 $C_2$于点 $N$，记 $h=\mathit{PM}+\mathit{NM}+\sqrt{2}\mathit{BM}$，求 $h$与 $x$的函数关系式，当 $-5⩽x⩽-2$时，求 $h$的取值范围．

在平面直角坐标系中，平行四边形 $\mathit{ABOC}$如图放置，点 $A$、 $C$的坐标分别是 $(0,4)$、 $(-1,0)$，将此平行四边形绕点 $O$顺时针旋转 $90°$，得到平行四边形 $A\text{'}B\text{'}\mathit{OC}\text{'}$．

（1）若抛物线经过点 $C$、 $A$、 $A\text{'}$，求此抛物线的解析式；

（2）在（1）的情况下，点 $M$是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 $M$在何处时， $\mathit{\Delta AMA}\text{'}$的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 $M$的坐标；

（3）在（1）的情况下，若 $P$为抛物线上一动点， $N$为 $x$轴上的一动点，点 $Q$坐标为 $(1,0)$，当 $P$、 $N$、 $B$、 $Q$构成平行四边形时，求点 $P$的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 $N$的坐标．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$过 $B(-2,6)$， $C(2,2)$两点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）记抛物线顶点为 $D$，求 $\mathit{\Delta BCD}$的面积；

（3）若直线 $y=-\frac{1}{2}x$向上平移 $b$个单位所得的直线与抛物线段 $\mathit{BDC}$（包括端点 $B$、 $C)$部分有两个交点，求 $b$的取值范围．

如图，平面直角坐标系中， $O$为原点，点 $A$、 $B$分别在 $y$轴、 $x$轴的正半轴上． $\mathit{\Delta AOB}$的两条外角平分线交于点 $P$， $P$在反比例函数 $y=\frac{9}{x}$的图象上． $\mathit{PA}$的延长线交 $x$轴于点 $C$， $\mathit{PB}$的延长线交 $y$轴于点 $D$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）求 $\angle P$的度数及点 $P$的坐标；

（2）求 $\mathit{\Delta OCD}$的面积；

（3） $\mathit{\Delta AOB}$的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．