如图，已知直线过点和，是轴正半轴上的动点，的垂直平分线交于点，交轴于点．
（1）直接写出直线的解析式；
（2）当时，设，的面积为，求S关于t的函数关系式；并求出S的最大值；
（3）当点Q在线段AB上（Q与A、B不重合）时，直线过点A且与x轴平行，问在上是否存在点C，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．