如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB=4，点D在抛物线上，直线是一次函数的图象，点O是坐标原点。

（1）求抛物线的解析式；
（2）把抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线与直线交于M、N两点，问在y轴负半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.