已知函数$y=x^2+\mathit{bx}+c(b$，$c$为常数）的图象经过点$(-2,4)$．

（1）求$b$，$c$满足的关系式；

（2）设该函数图象的顶点坐标是$(m,n)$，当$b$的值变化时，求$n$关于$m$的函数解析式；

（3）若该函数的图象不经过第三象限，当$-5⩽x⩽1$时，函数的最大值与最小值之差为16，求$b$的值．