如图，在正方形$\mathit{ABCD}$中，点$E$是$\mathit{AB}$边上一点，以$\mathit{DE}$为边作正方形$\mathit{DEFG}$，$\mathit{DF}$与$\mathit{BC}$交于点$M$，延长$\mathit{EM}$交$\mathit{GF}$于点$H$，$\mathit{EF}$与$\mathit{CB}$交于点$N$，连接$\mathit{CG}$．

（1）求证：$\mathit{CD}\perp \mathit{CG}$；

（2）若$\tan \angle \mathit{MEN}=\frac{1}{3}$，求$\frac{\mathit{MN}}{\mathit{EM}}$的值；

（3）已知正方形$\mathit{ABCD}$的边长为1，点$E$在运动过程中，$\mathit{EM}$的长能否为$\frac{1}{2}$？请说明理由．