在矩形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$于点$E$，点$P$是边$\mathit{AD}$上一点．

（1）若$\mathit{BP}$平分$\angle \mathit{ABD}$，交$\mathit{AE}$于点$G$，$\mathit{PF}\perp \mathit{BD}$于点$F$，如图①，证明四边形$\mathit{AGFP}$是菱形；

（2）若$\mathit{PE}\perp \mathit{EC}$，如图②，求证：$\mathit{AE}·\mathit{AB}=\mathit{DE}·\mathit{AP}$；

（3）在（2）的条件下，若$\mathit{AB}=1$，$\mathit{BC}=2$，求$\mathit{AP}$的长．